skrypt wzory i prawa z objasnieniami33

64

Środek masy

■    Najczęściej w zadaniach będziemy liczyć środek masy dla ciała jednorodnego Wtenczas gęstość ciała p = p( r ) = p(x_ty₉ź) = co/ist i można wyłączyć ją przed znak całki zapisanej w punkcie 28. Dla przypomnienia masa ciała jednorodnego jest równa iloczynowi jego gęstości i objętości Si = p V W tenczas wzór z punktu 28 przybierze postać

^v v

■    Gdy ciało jednorodne posiada płaszczyznę symetrii, oś symetrii lub środek symetrii, to jego środek masy będzie leżeć na odpowiednim elemencie symetrii. Korzystając z tej zasady można często zredukować całkę potrójną w punkcie 28.1 do całki pojedynczej. Przykładowo środek masy stożka o masie M będzie leżeć na jego osi symetrii. Z kolei współrzędną środka masy na lej osi znajdziemy licząc całkę

x_s = J xdm K4

gdzie d/n będzie masą "plasterka" stożka o grubości dr wyciętego równolegle

do podstawy i opisanego za pomocą współrzędnej x

Dla oznaczeń wprowadzonych na poniższym szkicu mamy

■ Licząc środek masy ciała, w którym zostało wykonane wydrążenie, można przyjąć, że mamy układ dwóch ciał ciała przed wykonaniem wydrążenia i ciała o kształcie wydrążenia. Zwykle te ciała będą regularnymi bryłami i policzenie dla każdego z nich położenia środka masy me sprawi trudności Następnie liczymy środek masy układu dwóch ciał Aby taki układ mógł być modelem ciała z wydrążeniem należy przyjąć w rachunkach, że ciało o kształcie wydrążenia ma ujemną masę

Dynamika układu punktów materialnych

28. Środek masy ciała

65

wektor położenia elementu masy dm dm = pdF p - gęstość ciała dV- nieskończenie mały element objętości ciała

i M    . V

x

X

wektor położenia środka • masa całkowita masy danego ciała    danego dała

Ki =J dm=\ pdV M V

28.1 Środek masy ciała w kartezjańskim układzie współrzędnych

współrzędne wektora

położenia ~r «[x.y,z]    gęstość ciała

elementu masy dm 1    w danym punkcie ¹

element objętości we współrzędnych kartezjańskich

d^=drd>tlr

*s =    \ ^xdm = \\\xp(x,y,z)dxdydz

M    V

ys =j_f\ }'^dm = J_f $yp(x,y₉z)dxdydz

M    ^J V

^Zs=zm\ ^{zdm =} ii Jlf ^ZP(x,y_nz)dxdydz

M    V

\

współrzędne kaitezjańskic wektora położenia środka masy ciała rj » [x_a; y$\Zs ]