skrypt wzory i prawa z objasnieniami44

86

Wahadło matematyczne

■ Wahadło matematyczne zgodnie z definicją teoretyczną, to punkt materialny o masie m zawieszony na nieważkiej merozciągliwej nici o długości 1 W praktyce za wahadło matematyczne możemy uważać ciało o skończonych wymiarach zawieszone na nici ważkiej, jeśli tylko wszystkie wymiary liniowe ciała są dużo mniejsze od długości nici a masa ciała jest dużo większa od masy nici.

2-y. jest jego przyspieszeniem kątowym. M jest momentem d/*

wahadła, a z

■ Równanie różniczkowe ruchu wahadła otrzymujemy z drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego Iz = M, gdzie I - ml' jest momentem bezwładności punktu materialnego o masie m względem osi obrotu tj osi przechodzącej przez punkt zawieszenia i prostopadłej do płaszczyzny wahań d²a

siły wypadkowej (sumy wektorowej siły ciężkości i siły napięcia nici) względem punktu zawieszenia, zwanym tutaj momentem zwrotnym Przy założeniu, że wychylenia a mci z położenia równowagi są niewielkie możemy przyjąć

M- -mgl sin a = -mgła

Po przekształceniach otrzymujemy równanie różniczkowe drgań

harmonicznych    *Mr + ja= 0.

di" ¹

Przyrównując to równanie z ogólnym równaniem drgań opisywanych

zmienną kątową a:    ^Mr + (o~ a = 0

otrzymamy częstość drgań © = /y i okres drgań T =    .

■ Należy pamiętać, że symbol g oznacza przyspieszenie grawitacyjne w miejscu, w którym znajduje się wahadło Jeżeli wahadło znajduje się na powierzchni Ziemi (dodatkowo na średnich szerokościach geograficznych), to do obliczeń przyjmujemy g ■ 9.81 m/s². Jeżeli wahadło znajduje się na wysokości h porównywalnej z promieniem Ziemi R, to zamiast g wstawiamy g/(l+£)². Jeżeli wahadło znajduje się na powierzchni innej planety niż Ziemia, to oczywiście wstawiamy inną wartość przyspieszenia grawitacyjnego. I wTeszcie, gdy na wahadło działają dodatkowe siły', np. siła bezwładności czy siła pochodząca od pola elektrycznego, to wzór na okres drgań wahadła F* 2rc^ «2* przyjmuje postać T=2nJ~j^. gdzie w

miejsce siły ciężkości P wstawiliśmy wypadkową siły ciężkości i dodatkowych sił

42.Wahadło matematyczne

zzzzz/

długość nici wahadła

kąt wychylenia nici z położenia równowagi

siła napięcia    ,

nici—-W

fngsina

\ wartość siły wypadkowej dająca moment zwrotny

siła ciężkości    ^ fflg/sinci

działająca na masę m

\

zależność wychylenia wahadła matematycznego z położenia równowagi od czasu, dla małych wychyleń (sin asa)

maksymalna wartość wychylenia mci z położenia równowagi (amplituda drgań)

a = a_mcos(co/ +

f—

Drgania harmoniczne

87

faza początkowa zależna od przyjęcia chwili początkowej ¹ częstość drgań (wahań) wahadła matematycznego

42.1 Okres drgań wahadła matematycznego

okres drgań

²ⁿJg.

długość wpadła

przyspieszenie ziemskie