Magazyn6q101

INTERPOLACJA I EKSTRAPOLACJA — INTERPRETACJA TRAKTATÓW 707

Przypuśćmy, ze ludność Warszawy na i. I. 1931 r. nie jest nam znana i że pragniemy ją oszacować drogą interpolacji; otrzymane wyniki porównamy z wartością rzeczywistą 1 150,5 tys. Oprzyjmy się najpierw na danych z lat 1925 i 1935. Ponieważ mamy tylko dwie dane, musimy zastosować jakąś funkcję o dwóch parametrach, np. funkcję linjową. Oznaczmy przez y ludność, przez x czas, liczony w latach od r. 1925. Funkcja nasza ma postać y = ax + b. Trzeba oznaczyć parametry a i b, które muszą spełniać następujące warunki: i 010,3 =    b

1 220,3 = 100+ b.

Mamy tu dwa równania linjowe z dwiema niewiadomemi a i b. Rozwiązanie daje nam natychmiast

31 = 21 x + x 010,3,

skąd dla roku 1931, a więc dla .r = 6, znajdujemy y= 1136,3. W statystce ludnościowej bierze się często jako zmienną zamiast liczby ludności — jej logarytm, co odpowiada założeniu, iż wzrost liczby ludności odbywa się w postępie geometrycznym. Napiszmy dla Y = log y = Ax -f- B. 3,00445 =    B

3,08647 = 10 A -f B Y — 0,00820 x + 3,00445 Dla roku 1931 znajdujemy

^ = 3.05365; y— 1131.5-

Interpolację możemy też oprzeć nie na dwóch tylko, lecz na większej liczbie danych, np. na liczbach z lat 1920, 1925, 1930 i 1935. Zachowując poprzednie oznaczenia, napiszemy wielomian 3 stopnia

y = c₈*^a +    + Ci* + c₀,

którego parametry c_s, c₂, r„ c₀ muszą czynić zadość następującym równaniom:

945,²    125C3 -f- 25c₂    5G -f-

1010.3    =    c₀

1126.4 ⁼    I25c₃ -j- 25c₂ -j- 5^ci -j- C₀ 1220,3 = IOOOCg-j- IOOC₂ -f IOCj -|- c₀

y = —o,0976a:³ -f- 1 02x² -f- 20.56a: -)- 1010,3

Dla roku 1931 znajdujemy y = 1 149,3. Uwagę naszą zwraca fakt, że ten ostatni wynik jest o wiele bliższy prawdziwej wartości niż wyniki poprzednie. Składają się na to dwie przyczyny: funkcja interpolacyjna zawiera więcej parametrów, jako oparta na większej liczbie danych, nadto zaś korzystamy tutaj z danych o liczbie ludności w roku 1930, najbliższym interesującego nas r. 1931, czego poprzednio nie czyniliśmy. Można ustalić jako regułę (nie pozbawioną zresztą wyjątków), że wyniki interpolacji są tem bliżsize prawdy, im większa jest liczba danych, na których oparte jest wyliczenie i im bliżej argumentów wartości danych leżą argumenty wartości szukanych. Pożądane też jest, aby argumenty wartości danych otaczały symetrycznie argument wartości szukanej. Jeżeli argument ten poprzedza wszystkie argumenty wartości danych, lub też przeciwnie, wszystkie argumenty wartości danych poprzedzają go, mamy do czynienia z ekstrapolacją, która też naogół jest przedsięwzięciem bardziej ryzykownem od interpolacji. Zarówno interpolacja jak i ekstrapolacja mają sens tylko wtedy, gdy wiemy, że zjawisko badane przebiega stopniowo, po łagodnie zakrzywionej linji, nie zaś po ostrej linji łamanej. Nie miałoby np. sensu ekstrapolowanie powojennych danych o ludności Warszawy na okres wojenny i przedwojenny ze względu na raptowne załamanie linji rozwoju, jakie spowodowała wojna. Podobnie nie można interpolować obiegu pieniężnego w Polsce na dz. 15 jakiegokolwiek miesiąca na podstawie danych z ultimów kolejnych miesię-cy, gdyż właśnie na ultimo każdego miesiąca następuje raptowny wzrost obiegu, na medio zaś obieg się kurczy.

Literatura: Jordan Ch.: StatisUqriemaihemaUque. Pariz 1927.— łomnicki ARachunek różniczkowy i całktoy. Kraków 1935.— Rietz H. L.: (editor-in-chicf) Handbook of mathomatical statistics. Boston 1924. — Whlttaker and o Robinson: The

ealcules of observations. London 1924.

Jan Wiśniewski.

Interpretacja traktatów.

i Pojęcie i historja. 2. Źródła. 3. Interpretacja autentyczna. 4. Interpretacja słowna. 5. Interpretacja realna. 6. Ustosunkowanie się wyników wykładni realnej i słownej. 7. Domniemania interpretacyjne.

1. Pojęcie i historja. Celem interpretacji, czyli wykładni traktatów międzynarodowych, jest ustalenie poprawnego sposobu rozumienia zawartych w traktacie norm w świetle intencyj jego sygnatarjuszy. Takie ujęcie interpretacji przeważa w doktrynie prawa międzynarodowego już od czasów Gentilisa i Grocjusza; jednakże Vattel zacieśnia je przez dodanie zastrzeżenia, że „nie wolno interpretować tego. co nie jx>trzebuje interpretacji", t. zn. że przez interpretację