1954 Geometria 258

Pi cos-y, p₂cosoc, . . ., p_k cos*. Obsah p' priemetu M' je p' — = p_xeostx + p₂ cosoc    + Pk cosa, ćiże

P' = (Pi + Pi + • • • + P_k) ^cosa> a pretoże vyraz v zatverke je obsah p mnohouholnika M,

p = p. cos*.

Poznamka. Pretoże roviny jr, p nie su ani romobeżne, ani kolnie, płati pre ich odchylku a

0< a < R,

a teda

0 < cos» < 1.

Z napisanych ncrornosti vidno, że obsah p' prarouhleho priemetu M' je vżdy menśi neż obsah p premietaneho mnohouholnika M.

Cvićenie

1.    Dokażte, że obsah romobeżnika o strane a a prisluśnej vyśke v rovna sa av.

2.    Dokażte, że obsah lichobeznika o zakladniach z_lt z₂ a ryskę v rorna sa (z, + zjv.

3.    Urćte obsah romostranneho trojuholnika o strane a.

4.    Ako sa zmeni obsah P obdlżnika o rozmeroch a, b,

a)    ak a zvaćsime ra-krat a 6 tież ra-krat;

b)    ak a zvacśime m-krat a b zmenśime ra-krat.

5.    Ako sa zmeni obsah P obdlżnika o.rozmeroch a, b,

a)    ak obidva rozmery zvaćśime o p % ?

b)    ak obidva rozmery zmenśime o q % ?

c)    ak rozmer a zvaóśime o p % a rozmer b zmenśime o q %?

6.    Obdlżnik o rozmeroch a, b ma obsah P. Obdlżnik o rozmeroch a + e, b -f- <5 ma obsah P' (* > 0, <3 > 0).

a)    Urćte, o kolko je P' vaćśie neż P.

b)    Urćte, o kolko je P' racśie neż P, ak z — b.

7.    Urćte obsah śtvoruholnika, ktoreho uhlopriećky su narzajom kolme.

Majme lichobeżnik ABCD. Priesećik uhlopriećok AC, BD oznać-me X. Dokażte, że trojuholniky /\ADX, /\ECX maju rornaky obsah.

9. Zostrojte trojuholnik, ak su danó jeho tri vysky v_a, v_b, v_c. Navod. Pouźite vzorec pre obsah trojuholnika a odvodte vz£ah

Vg-Vb

v_c

a :b :c = v_b:v_a:

10. Zostrojte rovnostranny trojuholnik, który ma rovnaky obsah ako obdlżnik o stranach a, b.

tlił. Mamę śtvoTC'ł o obsahoch m², n² (m > 0, n > 0). Zostrojte śtvorec, ktoreho ob: ah je a) m² -j- n², b) to² — n².

12.    Stvoruholniky ABCD, A'B'C’D\ pri których AC = A'C', BD — B'D' a Sf.AXB = <J:A'X'B' maju rovnaky obsah. Dokażte to.

13.    Zostrojte śtvorec, który ma rovnaky obsah ako dany rovnoramen-ny trojuholnik o zakladni a a ramene b.

Ake innożstvo vo(h^T naprśi na pozemok o rozlohe 1 ha, który je na svahu. Jeho odchyłka od vodorovnej roviny je 25°; mnożstvo zra-żok je 8 mm. Porovriajte vypocitane mnożstvo vody s mnoźstvom, które naprśi na pozemok tej istej rozlohy, leżiaci vo vodorovnom terene.

15. Pozemok leżi na svahu, ktoreho odchyłka od vodorovnej roviny je 15°. Na mapę o mierke 1 : 10 000 je tento pozemok zobrazeny ako obdlżnik o rozmeroch 18 mm, 23 mm. Aka je skutocna vy-mera pozemLu?

2. Ohsahy podobnych mnohouholnfkoy

Z definicie o podobnosti vieme, że trojuholnik /\A 'B'C podobny trojuholniku /\ABC o stranach a, b, c ma strany ka, kb, kc, kde k > >0, je tzv. poirer podobnosti (obr. 15). Ak ma trojuholnik &ABC obsah P, ma trojuholrik /\A’B'G' obsah P' — k².P. Toto posledne tvrdenie (które ste dok azali v 9. rocniku; str. 60) vyplyva z toho, że vysky v podobnych trojuholnikoch su v tom istom pomere ako pri-sluśne strany.

Podobny yysledok dostaneme pre IubovoIne dva mnohouholniky, z których jeden je podobny druhemu.

Veta 5. Nech su M, M' dva podobne mnohouholniky. Ak sa obsah mnohouholnika M rovua P, j ‘ obsah mnohouholnika M'

P' = k²P,

kde k > 0 je pomer podobnosti.

259