1954 Geometria 310

Pi'P — FP² : FP, ²p₂ : p = VP² : FP², ..., p_n : p = FP² : FP², t. j. ak sem dosadime za FP_X, FP₂,..., FP„ z (2),

,2 ^:W2> '	Pn-P = -
Ą*... n^2	II

n²

: u .

=    P*:p= „

Z toho lahko najdeme

'i. ^a

re²

(3)

Teraz zostrojime nad każdym rezom (v polpriestore, który je urćeny prislusnou royinou rezu a który obsahuje vrchol F) koimy hranol

t;

o vyśke —: vznikne celkove n hranolov, które społu tvoria teleso

stupńoyiteho tvaru; oznaeme ho T_v

Nad tymito rezmi zostrojime (s yynimkou podstayy ABC.. .) aj

V

v opaenych polpriestoroch kolme hranoly s tou istou yyśkou —;

tento raz yznikne len n—1 hranoloy, które społu tvoria druhe stupńovi-te teleso; oznaeme ho T₂.

Porovnajme dany ihlan s obidvoma zostrojenymi telesami T_x a T₂. Eahko dokażeme, że platl:

Ak je pata P vyśky ihlana bodom podstayy ihlana (t. j. budvnu-tornym bodom, bud bodom obvodu), dany ihlan je casfou telesa T_x a teleso T₂ je casfou daneho ihlana.

Pri uvedenom predpoklade polohy paty P tvoria pravouhle prie-mety podstay pomocnych hranoloy (ak postupujeme od yrcholu) postupnosf rovno!ahlych trojuholnikoy (o strede rovnakoIahlosti v pate P vyśky), z których każdy je casfou nasledujuceho mnohouhol-nika v postupnosti.

Z toho vidno, że horna podstava każdeho hranola telesa T_x obsahuje ako ćasf spodnu podstayu nasledujuceho hranola, a teda zrezany ihlan (pripadne ihlan) yyfaty z daneho ihlana rovinami obidvoch podstay l’ubovoIneho hranola (z których je zlożene teleso T_x) je casfou tohto hranola. Dany ihlan je teda casfou telesa T_x, pritom vżdy existuju body telesa T_x, które nepatria ihlanu.

Podobne by sme dokazali ostatnu casf predosleho tvrdenia.

Móżeme teda pre ihlan a telesa T_x a T₂ poużif vetu z poznamky 3 (cl. 1). Ak objemy tychto troch telies oznaclme postupne F, F_x, F₂, potom

F_x > F > F₂.    (4)

Objemy F_x a F₂ móżerne urcif podia vlastnosti [3]; ak poużijeme pre vypocet objemov jednotlivych hranoloy, z których sa T_x składa, znamy vzorec, najdeme

Fi — Pi — + Fa— + • • • + Tn ~ — ~(Pi + P₂ + • • • + P»)>

teda po dosadeni z (3)

F₁ = ^-(4l» + 42»+... + 4»*) = ^(l²+2*+ .. +«²). n n^z n^2,    n^z    n^A

Podobne pre teleso T_z najdeme

F₂ = ^ (Pi + Pa + • • •.+ Pn-i) = ^ [!² + ²² + • • • + (w—l)²]-

Najdene vysledky móżeme este upravi£, ak poużijeme znamy vzorec pre sućet druhych mocnin prirodzenych cisel

l² + 2² -f. .. + n² = j n {n + 1) (2» + 1).

Dostaneme

^F< = -S- * <* - <²« - ^l> = f o ■<* - ś>' <⁶⁾

t. j. pre każde delenie vysky ihlana na n > 1 rovnakych casti plati, ak dosadime za F_1; F₂ z (5) do (4):

(6)

>F>f(l-

Objemy F_x priradene jednotlhrym ćislam n tvoria teda pre rastuce n klesajucu postupnost. Jej m-ty ćlen je

f(¹⁺^ <^{1 +} 2^

na druhej strane objemy F₂ pri rastucom n tvoria rastucu postupnost. Jej n-tf clen je

vp

n

2n

311