1954 Geometria 028

Zostrojime uhly BAK, <r ABM v tej istcj polrovine oddelenej priamkou tak, aby bolo    —

<£ BAK = ABM = co.

Bodmi A, B vedieme po rade kolmice na priamky AK, BM a icli prie-secik oznacime S (kolmice sa pręt nu, lebo co R). S. je hladany stred kruźnice.

Prave uvedenu konśtrukciu dokażeme na ukażku pre ostry nhol co. Je <£ ABS = <t BAS = R — co, preto    ASB — 2co. Każdy bod X

kruźnice k leżiaci vo vnutri polroviny ABS urcuje obvodovv uhoł

AXB a podia vety (8) je <£ AXB =    <£ ASB = co.

£

Priklad 4. Mamę zostrojit trojuholnik ABC, ak je dana strana c, uhol y a polomer vpisanej kruźnice o.

Riesenie (obr. 47). Oznaćme S stred vpisanej kruźnice. V trojuhol-

niku ABS je SAB =    <£ SBA = Ł preto ASB = 2R —

j-i    cJ

—    — 2R — ^R--^ = R -j- Mnoźina yśetkych bo-

y

dov X, z których vidiet usecku AB pod tupym uhlom R -j- je dvo-

£

jica oblukov, które vieme zostrojit, lebo je dana A^reIkost usecky AB aj uhla y. Bod 8 patri jednak tejto mnoźine a jednak mnożine bodov, których vzclialenost od priamky AB je o.

Zostrojime jeden z oblukov o (druhy vedie k rieseniam sumerne zdrużenym podia priamky AB); v tej istej polroyine vedieme s priam-kou AB rovnobeżku m vo vzdialenosti q. Spolocne body obluka o a priamky m davaju stredy vpisanych krużnic.

Oznaćme 8 jeden z nich a opisme około neho krużnicu k polomerom o (obr. 48). Z bodov A, B ved’me zvyśne dotyćnice A U, BV ku krużnici k. Sucet prilahlych uhlov<£ UAB <XABV je uhol duty; lebo<£ U AB — = 2<£ SAB, <£ VBA = 2<£ SB A; <£ SAB + <£ SBA = 2B —

— <£ ASB = 2 R — (lł +    = R — ^, preto <£ U AB +    VBA =

= 2R — y. Podia Euklidovej poucky o rovnobeżkach sa teda pretmi polpriamky AU, BV v bodę G, vznikne trojuholnik ABC, który vy-hoyuje podmienkam ulohy.

Uloha je nerieśitelna, ak priamka m nema s oblukom o nijaky spoloćny bod.

Priklad 5 (obr. 49). Je dana priamka PAQ; PA = 5 cm, AQ = 8 cm. Mamę zostrojit śtvorec ABGD tak, aby priamka BC prechadzala bodom P a priamka GD bodom Q.

Riesenie. Z bodu C vidiet usecky PA, AQ pod uhlami 45°, usecku PQ pod pravym uhlom. Z tohto rozboru vyplyva konśtrukcia: Nad priemerom PQ zostrojime krużnicu k_lt nad tetivou AQ obluky o, o’ tak, aby prisłuśne obvodove uhly boli 45°. Prieseciky G, C' kruźnice k s oblukmi o, o' su vrcholy hladanych śtvorcov.

29