60632 s120 121

120

Wiadomo, że A jest macierzą nieosobliwą gdy det(A) ^ 0. Obliczmy wyznacznik macierzy A :

det(A) - —3 + 2 k + k = —3 + 3 k.

Stąd, det(A) ^ 0, dla k ^ 1.

3. Znaleźć macierz A z równania

A-A-(40B)^-1 = (A~^l B)~^l gdy

W zadaniach tego typu korzystamy z własności:

(A"¹)”¹ = A (A⁷)"¹ = (A"¹)⁷'

(A;A)^-1 = —A^-1, gdzie k / 0 jest liczbą

K

(.A-B)~^x = B^_1 - A^-1 (AB)¹ = B^rA^r

przy założeniach, że odpowiednie działania są określone. Korzystając z powyższych własności mamy

A-A-^OB)"¹ = (A^-1-B)^-1

^A'1'fi'¹ = B^-1 A 40

A-AB^-1 = 40B^-1 • A A^_1A-AB^_1 = 40A^-1 B^_1 A AB"¹ = 40A^-1 B^_1 A A B^-1B = 40A^-1 B~^l A B

X = 40A-¹-B~¹A-B = 40(B-A)^_1 AB.

Obliczmy

'2 1'		1 2'		5 2'
1 -2		3 -2		-5 6

oraz

1 2		'2 1		4 -3
l- CO i N3		! -2		4 7

AB =

Ponadto macierz odwrotna do B A ma postać

	’ 3	1 '
1 _	20	20
	1	1
	. 8	8 .

Podstawiając te macierze do wzoru, mamy

		' 3	1 ‘
^XAB = 40		20 1 . 8	20
			8 .
	'6	—2		'4	—
	5	5		4

-3

7

16

40

-32

20

1. Dla jakich wartości parametrów A i a, istnieją macierze odwrotne:

A — 3	2	0
2	A-l	0
0	0	A

(b)

'o 1    1    1    '

lal    1

0    0 a — 1    1 — a

.111    a    .

2. Wyznaczyć wartości parametru k, dla których zadane macierze są nieoso bliwe:

	k 5-1		'2 1 0'
(a)	2 k 10 -1 -2 —3 k	(b)	k 0 2 k 2 1

1 - z -2 2    6 — x

Dla jakich x nie istnieje jej maciei

3. Dana jest macierz odwrotna?

4. Wyznaczyć wartości parametru k, dla których macierz A jest osobliwa, g<

4k	5 k'		-2 k	r
1	2 k		0	k