76566 skrypt biomechanika spidografia22011 b

2

Jeśli wyznaczymy granicę (lim) ilorazu przemieszczenia i czasu w którym ono nastąpiło, przy czasie zmierzającym do zera f Af -> 0 ) obliczymy prędkość chwilowa ciała (v ). czyli pochodną przemieszczenia po czasie (r' lub r). Inaczej określając jest to iloraz dwóch różniczek, czyli bardzo małych różnic pomiędzy kolejnymi wartościami przemieszczenia i dr    -    , Ar dr _. z

czasu(—):    v , =v = lim— = — = r =r    Jednostką prędkości jest [m/s],

dt    ■*-<> At dt

Iloraz zmiany prędkości (Av ) i czasu w którym ta zmiana nastąpiła (At) nazywany jest przyspieszeniem średnim Av

a._r = —

At

Jeśli wyznaczymy granicę (lim) ilorazu zmiany prędkości i czasu w którym ta zmiana nastąpiła, przy czasie zmierzającym do zera (At -» 0) obliczymy przyspieszenie chwilowe (a), czyli pochodną prędkości po czasie (V¹ lub v ).

dv

Inaczej określając jest to iloraz dwóch różniczek kolejnych Wartości prędkości i czasu (—) albo druga pochodna

dt

. d²r .    _    _ Av dv z d*r _T    . .    ,

przemieszczenia po czasie (—- ):    a_dm = a = lim — = — = v = v = —f Jednostką przyspieszenia jest [m/s‘].

Interpretacja geometryczna całki i pochodnej.

Całka z funkcji y = f(t), czyli zależnej od czasu (a dokładniej: całka oznaczona w przyjętych granicach całkowania od t| do 1) to pole powierzchni znajdujące się pomiędzy krzywą funkcji, a osią czasu, przy czym pola znajdujące się ponad osią czasu przyjmowane sąjako dodatnie, a pod osią czasu jako ujemne (Rys. 3).

Rys. 3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej z funkcji y = f(t)

W celu obliczenia wartości przybliżonej całki oznaczonej z funkcji y = f(t) (w przyjętym przedziale - tzw. granicach całkowania), czyli pola powierzchni pomiędzy krzywą, a osią czasu można skorzystać z metody prostokątów (Rys. 4) lub trapezów (Rys. 5).

"A	t| i i ^s......^:...............•...............■ ,<	p,yj
	irT\
:--i\X7r

-2-1012

(a)    (b)    (c)

Rys. 4. Metoda prostokątów - (a) z niedomiarem, (b) z nadmiarem, (c) punktu środkowego (na rysunku zamiast „t” jest „x”)

v. 1.6 Biomechanika 2009 / L. Nosiadek

"\ .......fv	"f\......	ćfs. /i	/		H	7 f...
	\iy

Rys. 5. Metoda trapezów (na rysunku zamiast „t” jest „x”)

Pochodna z funkcji y = f(t) w punkcie t to tangens kata nachylenia względem osi czasu, stycznej do krzywej funkcji w punkcie t (Rys. 6).

/'(x)=~ = tana dx

Rys. 6. Interpretacja geometryczna pochodnej w punkcie t (na rysunku zamiast „t” jest „x”)

Im większy kąt nachylenia stycznej tym większa wartość tangensa, a więc i pochodnej funkcji. Kąt nachylenia stycznej zależy od charakteru krzywej i dla dużych przyrostów wartości funkcji - stromo wznoszącego się (lub opadającego) wykresu jest największy. W maksimum lub minimum lokalnym funkcji kąt nachylenia stycznej do osi czasu wynosi zero.

W celu obliczenia wartości przybliżonej pochodnej funkcji y = f(t) w niewielkim przedziale (im mniejszy przedział tym większa dokładność) można skorzystać z definicji tangensa, jako ilorazu dwóch przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, czyli ilorazu przyrostu kolejnych wartości funkcji (Ay) i czasu w którym ten przyrost nastąpił (At).

Rejestracja wartości prędkości chwilowej y=v(t) wykonywana jest za pomocą urządzenia zwanego spidografem (Rys. 7).

Rys. 7. Spidograf- urządzenie do pomiaru wartości prędkości chwilowej. Najważniejsze elementy: L - linka, B - bęben z nawiniętą linką, Ż - żarówka, T - tarcza, S - szczelina, F -- fotodioda, P - prądnica, v - prędkość liniowa, co - prędkość kątowa, u - różnica napięć (S - przebieg zmian drogi, v - przebieg zmian prędkości ) v. 1.6 Biomechanika 2009 / L. Nosiadek