028(1)

Wyznaczyć granice:

86. lim (| 2x²+1 — ] **+1) 87. lim (| x²+2x— ]/x^l+x)

89. lim (tgx—secx)

V. Przypadek, gdy dla x -» a lub x -* oo funkcja f(x) staje się potęgą, której podstawa dąży do jedności, a wykładnik do nieskończoności (przypadek V*).

W tym przypadku w celu znalezienia granicy korzystamy z następującej granicy podstawowej

Liczba ejest liczbą niewymierną: e — 2,7182818...

Logarytm o podstawie e nazywa się logarytmem naturalnym i jest oznaczany przez ln. Logarytmy naturalne i dziesiętne są związane wzorami

przy czym M — lge = 0,43429...,    = ln 10 = 2,30258...

90. Wyznaczyć granice:

Rozwiązanie. Stwierdziwszy najpierw, że przy podanym przebiegu argumentu rozważana funkcja rzeczywiście staje się potęgą o podstawie zmierzającej do jedności i wykładniku dążącym do nieskończoności (przypadek 1°°), sprowadzamy funkcję do takiej postaci, aby można było skorzystać z wyżej przytoczonej granicy podstawowej.

1) Podstawiając n = ax, mamy x -» co, gdy n -> co, oraz

Przykład ten można też rozwiązać bez stosowania zamiany zmiennej

-fc(^,+-ś) 1“''

a

2)    Podstawiając —2a = ot, mamy a -» 0, gdy a -> 0, oraz

lim (1-2*)* = lim(l+a)~“ = flim (1-+-«)“'!    =e"²

*->■0    O-.0    L    J

3)    Oddzielając z ułamka część całkowitą, podstawiamy —— ^x> skąd x -> 0, gdy t -> co, oraz

lt-3\^2,hl I 5 \^J,+1    ——_3

““(7+2) ^=lim(¹-7+2) -iⁱ+¹⁺*>    ⁼

_1_

= [lim(l+a)T¹⁰ • lim(l+x)-³ = e-¹⁰ • 1 = <r^lł

4)    Podstawiając tga = 1+ot, mamy a -*■ 0, gdy a: -»oraz tg2a =

, a więc

2 tga    2(a+1)

a(a+l)

1 —tg² a:

lim (tga)^tg 2x — lim

It    <x->0

(l+a)

■ ^a+r = e~^L

ponieważ

(£)'

Wyznaczyć granice: 91. lim (l+£a)*

X-r0

a-ł-0 ot 4-2

92. lim

93. lim (l+cosa)

2 sec x

94. lim (1+3 tg a)^ctg ■'

it

*-*T

§ 8. Zadania mieszane na znajdowanie granic

Wyznaczyć granice:

95. lim

96. lim

sin 3*

x-*o 3 — | ~2x+9

/.-►00 71+IA+ + 1

55