237 (22)

236 Rozdział 4. Ocena przebiegów w układach regulacji ■ ■

Dla naszego zadania:

236 Rozdział 4. Ocena przebiegów w układach regulacji ■ ■

e(s) =

s + ¹1

s² + kis + ki

A.

(5)

Zakładamy, że układ jest stabilny, tzn. k\ > 0, ¹2 > 0. Ponieważ mianownik (5) jest drugiego stopnia, więc z zależności (4) mamy:

(6)

7 ₂ cfoo + cgd₂ fcą + fc? ₂ J 2dod,d₂    2 ¹,¹₂    '

Minimalną wartość wyrażenia (6) względem k\ wyznaczyć można z warunku:

d (k₂ + k\\ _ 4¹?¹₂ - (k₂ + kp 2k₂ 9¹i V 2¹1¹2 )    4¹i¹²

Optymalna wartość wzmocnienia ¹i jest zatem równa:

*i = \/¹2-    (8)

Zauważmy, że układ będzie oscylacyjny o stopniu oscylacyjności:

*iV^/3 pi

Zadanie 4.28

W podanym na rys. 4.43 układzie regulacji poziomu cieczy w zbiorniku dobrać współczynnik wzmocnienia wzmacniacza k_w, tak aby przy skokowej zmianie zakłócenia q_z — Q_zl{t) i przy ograniczeniu na całkę z kwadratu przyspieszenia na wale silnika, całka z kwadratu składowej uchybu od zakłócenia osiągała minimum. Jaki będzie wówczas stopień stabilności i oscylacyjności układu?

Dane:

•    zbiornik walcowy o średnicy 1 [m],

•    zawór liniowy dający po jednym obrocie zmianę przepływu o 5 [^],

•    silnik przy napięciu nominalnym 120 [V] rozwija prędkość obrotową 1000[^],

•    przełożenie przekładni ¹_p = 1 : 100,

•    mostek pomiarowy przy zmianie wysokości o l[m] daje zmianę napięcia o 10[V"],

•    potencjometr sprzężenia zwrotnego daje zmianę napięcia o 10[V] przy prędkości obrotowej silnika 1000 [^], w ciągu l[min]_}

Rozwiązanie

Schemat blokowy układu przedstawia rys. 4.44. Na rys. 4.44 oznaczono:

•    pole powierzchni przekroju poprzecznego zbiornika: A = ni² =* 3,14 [m²],

•    stała mostka pomiarowego: km =    = 10 [j£],

•    stała silnika: k, =    = 8,3 [p^],

•    przełożenie przekładni: k_p = 0,01,

•    współczynnik sprzężenia zwrotnego: k,_z =    = 0,01 [£],

. stała zaworu:    ^ = 5    =0,005 [-£*] .

Uchyb regulacji można obliczyć, zakładając zerowe warunki początkowe jako:

E (s) = U, (s) G_t («) + Q_z (s)    (s) =    (1)

Uz(s) + %Qz(s)    U_z(s)As² + k_MsQ_z(s)

1 ,    ₊ *,*«,*f*i*w. s²A + sAk,k_wk_sz + k,k_wk„k_zk_M

3    sAs

Przyjmując Q_z (s) = 2ł otrzymuje się składową uchybu od zakłócenia w postaci:

O ^

E (s) =__

s² + sk_wki + k_wk₂ ’

(2)

1

   silnik traktować należy jako idealny element całkujący.