240 (21)

480 18. Schematy blokowe. Grafy sygnałowe Masona

grafy obwodów omawiane w p. 1.3.2. Jak wiadomo, grafy obwodów stanowią uproszczony schemat obwodów elektrycznych, przedstawiający gałęzie i węzły obwodu. Z tego powodu każdej gałęzi i każdemu węzłowi obwodu elektrycznego odpowiada określona gałąź i węzeł grafu obwodu. Grafy sygnałowe takiej odpowied-niości nie wykazują. Grafy sygnałowe Masona znajdują zastosowanie w analizie obwodów elektrycznych w elektrotechnice, teorii sterowania, telemechanice, teorii informacji itp. Zastosowanie metody grafów sygnałowych Masona pozwala często uzyskać rozwiązanie zagadnienia znacznie prędzej niż przy stosowaniu zwykłych metod.

Wiele informacji na temat grafów Masona zawierają prace [41, 45].

Węzły grafu sygnałowego Masona oznacza się na wykresie za pomocą kropek lub kółek. Każdemu węzłowi i grafu sygnałowego przyporządkowany jest określony sygnał x,, jak prąa, napięcie, potencjał itp. Gałęzie łączące węzły mają określone zwroty, a ponadto każdej gałęzi przyporządkowana jest pewna transmitancja. Podobnie jak w przypadku schematów blokowych zakłada się, że gałęzie są jednokierunkowe pod względem przepływu sygnałów.

Gałąź ij na rys. 18.26 łączy węzeł i z węzłem j, przy czym kolejność indeksów wskazuje zwrot rozpatrywanej gałęzi, określający przepływ sygnału. Sygnał x_; węzła

»-tii-• Rys. 18.26. Gałąź grafu sygnałowego Masona

/ jest sygnałem wejściowym gałęzi ij, natomiast sygnał Xj dopływający do węzła y jest sygnałem wyjściowym tej gałęzi. Transmitancja gałęzi grafu sygnałowego jest ilorazem transformat sygnałów: wyjściowego i wejściowego, zgodnie z ogólnym określeniem transmitancji. Transmitancję gałęzi ij grafu sygnałowego oznacza się często jako 7]_;(s) lub wprost 7T. Wobec powyższego, sygnał dopływający do węzła j przez gałąź ij jest równy T_lj(s)X_i(s), gdzie Aj.(s) jest transformatą sygnału x, węzła i.

W dalszych rozważaniach będziemy używać prostszych symboli dla oznaczenia transmitancji gałęzi oraz sygnałów, pomijając w zapisie zmienną s.

U podstaw teorii grafów Masona leżą dwie operacje, a mianowicie: operacja dodawania sygnałów dopływających do węzła oraz operacja mnożenia przez transmitancję transformaty sygnału przepływającego wzdłuż gałęzi.

W każdym węźle grafu sygnałowego może zbiegać się kilka gałęzi, przy czym sygnały mogą zarówno dopływać do węzła, jak też od niego odpływać. Przyjmujemy, że sygnał Xj węzła y jest równy sumie wszystkich sygnałów dopływających do tego węzła, czyli ogólnie

Xj=ZT_ijX_l.    (18.14)

i= 1

Należy zwrócić uwagę, że w wyrażeniu (18.14) dla sygnału X'j węzła j występują wyłącznie sygnały dopływające do tego węzła, a sygnały odpływające z rozpat-

Rwanego węzła w ogóle nie są tu brane pod uwagę. Tak na przykład dla grafu sygnałowego z rys. 18.27 otrzymujemy równania:

X₂ = aX_l+dX₅,

X₃ = eX₂+fX_A + gX_i, X₄ = lX₂ + hX₅,

X₅ = bX₁ + cX₂ + kX₄,

przy czym przyjęto, że X_t oznacza sygnał węzła i, a transmitancję gałęzi oznaczono małymi literami bez dodatkowych indeksów.

5

Rys. 18.27. Przykład grafu sygnałowego Masona    2

Węzłem źródłowym nazywamy węzeł stanowiący początek wszystkich gałęzi połączonych z tym węzłem. We wszystkich gałęziach połączonych z węzłem źródłowym sygnały odpływają do tego węzła. Węzeł źródłowy może być połączony z jedną lub z kilkoma gałęziami. Przykładem węzła źródłowego na rys. 18.27 jest

węzeł 1.

Węzłem odbiorczym nazywamy węzeł stanowiący koniec wszystkich gałęzi połączonych z tym węzłem. We wszystkich gałęziach połączonych z węzłem odbiorczym sygnały dopływają do tego węzła. Węzeł odbiorczy może być połączony z jedną lub z kilkoma gałęziami. Na rysunku 18.27 węzłem odbiorczym jest węzeł 3.

Pozostałe węzły grafu sygnałowego, które nie są ani węzłami źródłowymi, ani odbiorczymi, nazywają się często węzłami wtórnymi. W niektórych gałęziach dołączonych do węzła wtórnego sygnały dopływają do tego węzła, a w pozostałych - odpływają od tego węzła. Na rysunku 18.27 węzłami wtórnymi są węzły 2,4,5.

W razie potrzeby można otrzymać węzeł odbiorczy, wyprowadzając z dowolnego węzła wtórnego gałąź o transmitancji T₃ 4=1 (np. węzeł 4 na rys. 18.28).

Gałąź wychodząca z pewnego węzła i wracająca do tego samego węzła nazywa się pętlą własną. Przykładem pętli własnej jest gałąź o transmitancji d na rys. 18.28; dla węzła 2 otrzymujemy wówczas równanie

X₂ = aX₁ + bX₃+dX₂.

Ścieżką grafu nazywamy połączenie gałęzi, które przebywane jest zgodnie anym zwrotem. Na przykład ścieżkami grafu z rys. 18.29 są: adf, aegf. tcją ścieżki nazywamy iloczyn transmitancji wszystkich gałęzi tworzących