245 (18)

490 18. Schematy blokowe. Grafy sygnałowe Masona

Przykład 4. Obliczymy transmitancję T(s) = U₂/U_l grafu sygnałowego z rys. 18.38, dotycząc obwodu z rys. 18.37.

Kolejne etapy przekształcenia rozpatrywanego grafu sygnałowego przedstawia rys. 18.51. Tran*, mitancja układu z rys. 18.37 wynosi

T(s) =

R + Z

kZ

R + Z kz 1 +-

kZ(s)

(k+\)Z(s) + R

a)    kz

U,    1    U_s    R+Z    U,

U,    U₂    Uy    U₂

Rys. 18.51. Przekształcenie grafu sygnałowego z rys. 18.38: a) przekształcenie połączenia łańcuchowego gałęzi k(R+Z), b) przekształcenie połączenia łańcuchowego gałęzi kZ/(R + Z) i — 1, c) eliminacja pętli własnej

18.8. Wzór Masona na transmitancję grafu sygnałowego

Omówimy metodę analityczną obliczania transmitancji grafów sygnałowych Masona. Stosowane w tym punkcie pojęcia dotyczące tych grafów zostały omówione w p. 18.5.

Transmitancja grafu sygnałowego między węzłem źródłowym x a dowolnym węzłem odbiorczym y wyraża się wzorem Masona:

i T_k\

= , (1816)

gdzie n — liczba ścieżek otwartych między rozpatrywanymi węzłami x, y, T_k — transmitancja fc-tej ścieżki otwartej między rozpatrywanymi węzłami x, }\ a ponadto

A = 1    +    I P';P'ńP'; + ...    (18.17)

l    l,m    l.m.r

W tym wyrażeniu P, jest transmitancją pętli / grafu sygnałowego, wobec tego IF, przedstawia sumę transmitancji wszystkich pętli grafu sygnałowego. Wielkość P'iP'm jest iloczynem transmitancji dwóch nie stykających się pętli, a wyrażenie IP\P'_m przedstawia sumę iloczynów transmitancji wszystkich możliwych par pętli nie sty kujących się ze sobą. Podobnie iloczyn P]'P'_mP’_r' jest iloczynem transmitancji trzech pętli nie stykających się ze sobą, a wyrażenie IP',' P'_mP'_r' jest sumą wszystkich możliwych iloczynów transmitancji trzech pętli nie stykających się ze sobą itp.

Wielkość A_k występująca we wzorze Masona jest określona wzorem (18.17) dotyczącym tej części grafu sygnałowego, która nie styka się ze ścieżką otwartą k między rozpatrywanymi węzłami x, y.

Przykład I. Wyznaczymy transmitancję grafu sygnałowego z rys. 18.46 między punktami 1, 5.

Między węzłami I. 5 istnieje tylko jedna ścieżka otwarta o transmitancji 7j = abdf. Rozpatrywany graf sygnałowy zawiera dwie pętle o transmitancjach: P, = bc oraz P₂ = de, przy czym obie pętle stykają się zc ścieżką otwartą 7j. wobec tego zł, = 1. Ponieważ obie pętle P, oraz P, stykają się z sobą, więc l = I -(P, + P₂), czyli

_    7,__abdj _

¹⁵ “ l-(P, + P₂)^_ 1 ~{hc + de)'

Taki sam wynik otrzymaliśmy w przykładzie 1 w p. 18.7.

Przykład 2. Wyznaczymy transmitancję grafu sygnałowego z rys. 18.48 między węzłami I. 6.

Między węzłami 1, 6 istnieją dwie ścieżki otwarte o transmitancjach: 7j = aeh oraz T₂ = ahdgh. Graf sygnałowy zawiera dwie pętle o transmitancjach: P, = bc oraz P₂ =/9 Ponieważ wszystkie pętle grafu sygnałowego stykają się zarówno ze ścieżką otwartą Tj, jak i 7₂. więc d, = 1 oraz d, = 1. Biorąc pod uwagę, ze pętle P, i P₂ mc stykają się z sobą, mamy

d = l-(P,+P₂) + P,P₂

Zgodnie z tym otrzymujemy

T, + T₂    aeh + ahdgh_₌ ah(e + hdg)

^T‘⁶ ~ 1 -{Pt+PiHPtPt ~ \-(bc+jgyM9 ⁽¹ _hc)(1 ~f«)

Ten sam rezultat otrzymaliśmy w przykładzie 2 w p. 18.7.