92 (51)

3.8.3. Równania i nierówności związane z funkcjo homograficzng

f(x) = %Td-c*0-ad-bc*0

Równanie

N ierówności

związane z funkcją homograflczną

ax

cx + d

= 0

ax + b > _n cix + b < _n

77Td(^)° ^v TTTd(<)°

Gdyby po prawej stronie nie było (samego) zera, należy przenieść wyrazy na stronę lewą, wykonać tam działania i doprowadzić lewą stroną do postaci ilorazu +7^ mając po prawej stronie (samo) zero.

Wyznaczenie dziedziny D = /?\|—j.

Tok rozwiązywania

Rozwiązywanie równania — zakończone.

Rozwiązaniem    równania

^ ^ j = 0 jest miejsce zerowe licznika: ax + b należące do dziedziny D. Zatem jeśli x = — -jj- G D, to pierwiastkiem równania jest _ b

X =—TT.

Rozwiązując nierówności gj-*    ^V cx    ^korzy_

stamy z faktu, że znak ilorazu jest zawsze taki sam jak znak ilo- I czynu, i przekształcamy je do postaci nierówności wielomianowych: (ax + b)(cx + ^)r^\ 0 V (ax + b)(cx +    0, które

rozwiązujemy w dziedzinie D.

Zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej jest część wspólna (iloczyn) zbioru rozwiązań odpowiedniej nierówności wielomianowej i zbioru D.

Oto przykład:

Równanie	Nierówność
związane z funkcją homograficzną
x+ 2 _ x- 3 \Ł x-2 " x+ 1	x + 2 x — 3 x- 2 " x + 1
P(x"\ Wyznaczamy dziedzinę D = R\{—1,2}. Przekształcamy, tak aby lewa strona była postaci ^—y, zaś prawa równa zero.
Qr _ A
•ss / _ v y ™ v vi po ouusirun- | (*+l)(*-2) L nym pomnożeniu przez -3* 1 (x + l)(x — 2) otrzymujemy rów-0 1 nanie wielomianowe id 1 8x — 4 = 0AxeD. j ^ 1 Odp. x = ± G D).	(x+l)(x-2) ^Hmy nierówność wielomianową: (8x - 4)(x + l)(x -2)>0AxeD, przedstawiając graficznie z uwzględnieniem dziedziny D: o
	----i 7 h ^0 5*, /^Ł otrzymujemy:
Rozwiązywanie równania — zakończone.	Odp. x e ^-1; u (2; +00).

l Uwaga:    Zamiast zamiany ilorazu    na iloczyn />(x) ■ Q(x) w nierównościach: ^7™y < 0, można obu

stronnie mnożyć te nierówności przez kwadrat mianownika (jest on dodatni) i otrzymać równoważne nierówności o tym samym kierunku: P(x) • Q(x) < 0.