91 (51)

3.8. Równania I nlorównołcl wyml.nu

3.8. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYMIERNE

3.S.I. Definicje równania i niarównoici wymiernej

Niech /*(.«■) i Q(x) będą wielomianami jednej zmiennej .t. Q(x) t 0.

P(x)

tt) Równanie wymierne; —■—- = O {?(•'•)

Dziedzina równania wymiernego:

(*)“<>}

Rozwiązywanie równania wymiernego polega na poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji wy-P(x)

Q(x)'

Rozwiązaniem (pierwiastkiem) równania wymiernego jest każda liczba dziedziny równania, P(x)

która spełnia równanie: —7—r = 0.

<?(*)

b) Nierówności wymierne:

P(x)    P(x)    P(x) ^ P(x) ^ _n

—7—r > 0,    < 0,    > 0, —)~ < 0

g(-v)    Q(*)    g(-v)    <?(*)

ostre (mocno)    słabe

Dziedzina nierówności wymiernej:

0„=*\{*:<?(*) = O}

Rozwiązywanie nierówności wymiernych polega na wyznaczaniu przcdziulów, w których funkcja

miernej/(z) *

wymierna: f(x) =

Q(*)

ma znak: dodatni (> 0),

ujemny (< 0), nicujemny (> 0), niedodatni (< 0). Zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej jest zbiór (przedział), w którym funkcja wymierna

/ x />(*)

f\x) = ^ma określony (wyżej) znak.

3.1.2. Analogie między procedurę rozwiązywania równań i nierówności wymiernych

	Równanie wymierne	Nierówności wymierne
« Ł	P(x) -7-? = 0 0(x)	'(*> > 0 V < 0 e(*)0>) (?(*)(<)

Wyznaczenie dziedziny D = R\ {miejsca zerowe mianowników).

Uwaga: W przypadku, gdy równanie czy nierówność nie ma po prawej stronic (samego) zera, należy przenieść wszystkie wyrażenia na stronę lewą (tak by po prawej stronie było tylko zero) i wykonując po stronie lewej działania na wyrażeniach wymiernych, uzyskać stronę lewą w postaci ilorazu

wielomianów:

(?0

Rozwiązaniem równania P(x)

ę^_xj ⁼ 0 jest każde miejsce zerowe wielomianu P(x) należące do dziedziny równania wymierne-P(x)

go —= 0. Zatem rozwiązanie

równania wymiernego sprowadza się do rozwiązania równania wielomianowego: P(jr)*0 w dziedzinie =    = 0}

(por. 3.6.6b.). Liczby x spełniające równanie P(x) = 0 i należące do dziedziny D_r są pierwiastkami równania wymiernego.

Nierówności wymierne rozwiązujemy z wykorzystaniem następującego faktu: znak ilorazu jest zawsze taki sam, jak znak

iloczynu. Zatem problem znaku ilorazu

?(*)

Q(4

(lewej strony

nierówności) jest równoważny problemowi znaku iloczynu:

P(x)Q(x) w dziedzinie ilorazu. Stąd nierówności

P(x) > P(x) < _m    .

—;—T/ - x 0. ——r, -x 0 są równoważne nierównościom wiclo-

mianowym: P(*) •    P(^x) ' Q(^x)< ® rozwiązywa

nym w dziedzinie D_m = R\|.v:0(.v) ■ oj (por. 3.6.6b.). Zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej jest część wspólna (iloczyn) zbioru rozwiązań odpowiedniej nierówności wielomianowej i zbioru D_m.

3. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIER