CCF20090321045

spornie trafnych obserwacjach psychologicznych. Teoria ta zakłada, iż rzeczywista korzyść, jaką przynosi komuś wygrana, nie jest proporcjonalna do wysokości wygranej, lecz zależy od stosunku pomiędzy wysokością wygranej a stanem majątkowym wygrywającego. Na przykład ten, który posiadając tysiąc franków wygrywa milion, jest równie zadowolony z tego szczęśliwego trafu, jak ten, który posiadając milion wygrałby miliard. Słusznie jednak uznano, że jakkolwiek wartościowe byłoby to spostrzeżenie z psychologicznego punktu widzenia, nie ma ono żadnego znaczenia, gdy idzie o oszacowanie czyjejś nadziei matematycznej, gdyż owa nadzieja matematyczna ma wartość handlową i może być sprzedana komukolwiek, a zatem jej ocena nie może być uzależniona od stanu majątkowego sprzedawcy czy r^abywcy.

Inny pogląd na paradoks petersburski polegał na negacji istnienia jakiegokolwiek paradoksu i stwierdzeniu, że rezultat, otrzymany drogą nienagannego rozumowania, jest poprawny. Pogląd ten reprezentował J. Bertrand *. Twierdził on, że Piotr, niezależnie od wysokości jego opłaty wstępnej, może być pewien, iż z czasem wzbogaci się i zrujnuje Pawła; wymaga to oczywiście, by Piotr nie był obowiązany, w wypadku przegranej, płacić gotówką; trzeba udzielić mu kredytu; zadłuży się on być może na sumę astronomicznych rozmiarów, która przekroczy nawet wartość bryły złota o rozmiarach kuli ziemskiej; jeśli jednak starczy mu cierpliwości, jeśli będzie żył dostatecznie długo lub jeśli przekaże tę grę swym spadkobiercom, to rachunek prawdopodobieństwa wróży mu wielką fortunę, a rachunek zawsze dotrzymuje swych obietnic. W następnym paragrafie wskażemy, do jakich konsekwencji prowadzą stwierdzenia Josepha Bertranda, co pozwoli nam wyjaśnić paradoks i odrzucić wyprowadzone zeń wnioski.

i J. Bertrand (1822—1900) — matematyk francuski; jego Calcul des probabiittós ukazał sie, w r. 1888 (Przypis tłumacza).

(46) wyjaśnienie paradoksu

Potwierdziliśmy, że nieskończona wartość przypisywana nadziei matematycznej Piotra stanowi sumę nieskończonego ciągu wyrazów równych jedności, a każdy spośród tych wyrazów odpowiada jakiejś nadziei matematycznej, która może być przedmiotem odrębnej transakcji, tj. może być sprzedana ewentualnemu nabywcy za jednego franka. Otóż wykażemy, że chociaż Piotr bez trudu zapewne mógłby znaleźć nabywców na początkowe wyrazy owego ciągu, to jednak znalezienie nabywców na dalsze kolejne wyrazy byłoby ^rzeczą coraz trudniejszą, a wreszcie zgoła niemożliwą,

Rozważmy najpierw przypadek, w którym transakcja taka byłaby w sposób oczywisty niemożliwa; wystarczy przyjąć n ~ 1000; wiemy, że

2^ł0 > 10³,

skąd wynika bezpośrednio, że

2¹⁰⁰⁰ > lO⁸⁰⁰

Piotr ma pewne szanse na wygraną rzędu 10³⁰⁰; prawdopodobieństwo takiej wygranej wynosi, mianowicie, 10~³⁰⁰, tak że nadzieja matematyczna jest akurat równa jedności. Ale czyż owa nadzieja matematyczna może być przedmiotem transakcji handlowej? Jak wynika z obliczeń przytoczonych w poprzednim rozdziale, wartość wygranej odpowiada wartości bryły złota o rozmiarach daleko większych od kuli, której środkiem byłoby Słońce, a promieniem odległość pomiędzy Słońcem a najbliższą gwiazdą. Z drugiej strony, aby mieć jakieś realne szanse na zrealizowanie takiej wygranej, trzeba by ponawiać grę co sekunda w ciągu miliardów stuleci w każdym centymetrze sześciennym naszego Wszechświata. Proponowane przez Bertranda obniżenie stawki z 1 franka do jednej cząsteczki

95