3582328103

1. CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE

1.1 ŁUKI NA PŁASZCZYŹNIE IW PRZESTRZENI Def. tU (funkcja wektorowa jednej zmiennej)

a) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I —>R² lub r. I —>R³, gdzie / oznacza przedział na prostej. Funkcje wektorowe będziemy zapisywali odpowiednio w postaci r(i) =    _y(ć)) lub r(t) =    y(t), z(t)),

gdzie l e 1.

Rys. 1.1.1 Funkcja wektorowa jednej zmiennej na płaszczyźnie

b) Mówimy, że funkcja wektorowa r jest różnowartościowa na przedziale /, gdy dla dowolnych ti, h e / prawdziwa jest implikacja

ti *t₂ =>r(f,)^ r(t_z).

Funkcja r jest lokalnie różnowartościowa na przedziale i, jeżeli każdy punkt tego przedziału ma otoczenie, na którym funkcja r jest różnowartościowa.

Rys. 1.1.2 Funkcja wektorowa jednej zmiennej w przestrzeni

c)    Jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są ciągłe na przedziale /, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest ciągła na/.

d)    Podobnie, jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są różniczkowalne w sposób ciągły na /, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest różniczkowalna w sposób ciągły na/. Pochodną funkcji wektorowej r określamy wzorem:

def.    .    dęf,    ,

r' (0 = \x' (f). / (Oj lob r\t) = (x' (t), y' {t\ z' (f)j •

Rys. 1.1A Pochodna funkcji wektorowej