3582461172

■Jarosław Wróblewski

Analiza Matematyczna Al, 2009/10

Indukcja matematyczna. Dwumian Newtona.

Wykład: /ml. 1-1    Konwersatorium 8.10.2009: zad. 38-40

Ćwiczenia 6,7.10.2009: /ad. 5-37    Kolokwium nr 1, 13.10.2009: materiał / zad. 1-40

1.    Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość

l₊₄₊9₊i6₊...₊n»=^{n(n + i}p^{n + 1)}.

O

2.    Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej ;i>6 kwadrat (figurę geometryczną) można podzielić na n kwadratów.

3.    Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność

lOOOOOOn < 2" [phone].

4.    Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a₁,a₂,...,a_n zachodzi nierówność

_n/- .. ai+a₂+

n

5.    Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość

1 + 2-3 + 3-3² + 4-3³ + 5-3⁴+ ... + «-3"~^l = —-3" + -i .

4    4

G. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość

(2^2<‘ + 1) -(2²* +1)• (2²* +1)-(2²* +1)-(2²‘ +1)-...• (2²" +1) = 2²"^+l - 1 . UWAGA: a^fcC =«<*'>.

7.    Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość

l³ + 2⁸+3® +... + n⁸ = (1 +2 + 3+... + n)² .

8.    Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość

l+2-2 + 3-2² + 4-2³ + 5-2⁴ + ... + /i-2""¹ = (n-l)-2" + l .

9.    Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej ;i >2 zachodzi równość

111 11 2 ⁺ 6⁺12 ^{+ ,}‘*⁺(n-l)-n. ¹ n *

Oznaczenia:

rt

^ ^ fli — Otn “ł" flm+1 flm+2    "ł" • • • "ł" I "ł" Afi

i=m

n

^ai^=am ^-am+l ^-am+2^aw+3*---^#an-l ^an

i=m

Obliczyć wartości wyrażeń:

•» *

Lista 1

- 1 -

Strony l-/_f