1636661216

Jarosław Wróblewski

Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Dana pod znakiem granicy suma ma 2n składników i zapisuje się wzorem 3n⁴ - kn² + k²

'>ⁿ'⁵ ~ kⁿ3 +

Szacowanie od góry daje

n^A-kn² + k²    ^3n⁴-0 + 4n² 2n(3n⁴+4n²)

5n⁵ — kn³ + k³ ^ ^ 5n⁵ - 2n⁴ + 0    5n⁵ - 2n^{4 C}” ’

Szacując od dołu otrzymujemy

p, 3n⁴ - kn² + k² p, Sn⁴ - 2n³ + 0 2rz(3n⁴ - 2w³)

^5n⁵ —fcn³ + /c³ ^^5ri⁵-0 + 8n³    5n⁵+8n³

Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności a_n<b_n<c_n,

a ponadto

lim_a_n = Jim^Cn = 6/5,

na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy Jim^n = 6/5.

192. Obliczyć granicę lim

5n³ + 3 ₊_5n³ + 6

5n³ + 9 ^ 5n³ + 12

Vn¹⁰ + 12

5n³ + 6n² \ \Ai¹⁰ + 6n²/

Rozwiązanie:

Dana pod znakiem granicy suma ma 2n² składników i zapisuje się wzorem

_h 5n³ + 3A: ⁿ~£r{Vn¹⁰+3k'

Szacowanie od góry daje

^ 5n³ + 3fc ^5n³ + 6n² 2n²(5n³ + 6n²) i”! Vn¹⁰ + 3k ^ ^ \/ri¹⁰ + 0    n⁵

Szacując od dołu otrzymujemy

^ 5n³ + 3/c ^ ^ 5n³ + 0 _ 2n²-5n³ jS \/n¹⁰ + 3fc "    \/n¹⁰+6W² “ Vn¹⁰+6^ ⁼

Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności

On^bn^Cn,

a ponadto

lim c_n = lim

10n⁵

lim ,    ==

^1_,0° \/n¹⁰4-6n²

2n²(5n³ + 6n²)

"-*⁰⁰ yT+órF³ = lim (l0+12n^_I) = 10,

Lista 3

- 22 -

Strony 18-41