1636661220

Jarosław Wróblewski

Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

nazywamy ograniczeniem górnym zbioru Z.

Definicja: Zbiór Z CK nazywamy ograniczonym z dołu, jeżeli

3 V x>M.

MeR xez

Każdą liczbę rzeczywistą Met spełniającą warunek

V    x>M

xez

nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru Z.

Definicja: Zbiór Z CK nazywamy ograniczonym, jeżeli jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry.

Definicja: Jeżeli niepusty zbiór Z C IR jest ograniczony z góry, to kresem górnym zbioru Z nazywamy jego najmniejsze ograniczenie górne i stosujemy oznaczenie supZ. Istnienie takiego najmniejszego ograniczenia wynika z zasady ciągłości Dedekinda. Jeżeli zbiór Z jest nieograniczony z góry, przyjmujemy supZ = +oo. Ponadto przyjmujemy sup0 = —oo. Analogicznie określamy kres dolny zbioru, oznaczany przez infZ.

Wniosek: Jeżeli niepusty zbiór Z CR jest ograniczony z góry, to liczba G jest jego kresem górnym wtedy i tylko wtedy, gdy

V    x<zG

x€Z

oraz

V 3 x >G — e.

e>0 x€Z

Zadania.

Wyznaczyć kres górny i dolny następujących zbiorów. Zbadać, czy podane zbiory zawierają swoje kresy:

201. {l£R: i²<2}    202. // : neFi}

203. ( —---m,n€Nl 204. |;r€]R: x⁴>5)

Im n+1    J    1    >

205. |

Niech A i B będą niepustymi ograniczonymi zbiorami liczb rzeczywistych.

Niech oi = infA , a2 = supA , b\ = iniB , 6₂ = supB. Co można powiedzieć o następujących kresach:

207. inf{-a: a€A} 208. sup{a²: a€A} 209. inf{a²: aeA}

210. sup{a — b: aeA, b£B) 211. sup{a6: a€A, b EB}

212. inf{a&: a€A, b€B}

m,n G N , m<n

J 206. |

m³ + n³ + k³

m,n,k e I

Lista 3

- 26 -

Strony 18-41