1636660686

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW    8

3. Rachunek rentowy

Definicja. Rentą kapitałową nazywamy ciąg wypłat, które powtarzają się w równych odstępach w określonym przedziale czasu (systematycznie uzyskiwane dochody z kapitału, które nie wymagają pracy).

Przykład. Renty: comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, kwartalne płatności z tytułu spłaty długu, miesięczne wpłaty na rachunek w kasie mieszkaniowej, roczna dywidenda z tytułu posiadania akcji, systematyczne wpłaty na rachunek oszczędnościowy.    □

Poszczególne płatności w ramach renty to raty, okres między kolejnymi płatnościami okres bazowy. Renta prosta to renta, w której okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek. Renta zwykła lub płatna z dołu, postnumerando to renta, w której raty następują na koniec okresu, a renta płatna z góry, prenumerando to taka, w której płatności następują na początku okresu bazowego. Renta czasowa lub skończona to renta o skończonej ustalonej liczbie rat, renta wieczysta to renta o nieskończonej (nieokreślonej) liczbie lat.

Renta zwykła, prosta i skończona to renta.

Główne zadanie rachunku rentowego to wycena renty czyli określenie kapitału równoważnego rencie. Wycena na moment t to suma wszystkich rat zaktualizowanych na moment t.

Definicja. Wartość początkowa renty to wycena na moment 0, czyli suma wartości wszystkich rat zaktualizowana na moment początkowy renty.

Wartość końcowa renty to wycena na moment n (koniec okresu wypłacania renty), czyli suma wartości wszystkich rat zaktualizowana na moment końcowy n.

Oznaczenia: Rj - rata płatna w momencie j, dla j = 1,2,... ,n, i - stopa procentowa okresu bazowego, PV — wartość początkowa renty (presnet vałue); FV - wartość końcowa renty (futurę value). Przyjmujemy, że jednostką czasową jest okres bazowy.

Dla uproszczenia przyjmujemy, że badamy renty płatne z dołu (postnumerando) i oprocentowane stałą stopą procentową (nie dyskontową).

Obliczamy wartość początkową renty. Pierwsza rata zostaje zapłacona po okresie bazowym od chwili początkowej, a więc gdyby bank miał te pieniądze na początku, a wypłacił dopiero po tym okresie to w chwili wypłaty miałby R\ = R(1 + i), zatem w chwili początkowej wartość tej raty to R = i?i(l + i)^-1. Podobnie rozumując dla raty drugiej możemy stwierdzić, że jej wartość w chwili początkowej to i?2(l+*)^-2 bo została wypłacona po dwóch okresach bazowych. Analogicznie jest dla każdej raty, a więc

PV = Rji¹ + i)~^j■

j=i

Obliczenie wartości końcowej jest analogiczne. Jeżeli rata Ri została wypłacona po pierwszym okresie bazowym, a wszystkich okresów bazowych jest n to wartość pierwszej raty na końcu okresu wypłaty renty jest równa i?i(l 4- i)ⁿ~^l bo kwota ta nie procentowała przez pierwszy okres. Analogicznie jest dla wszystkich rat (ostatnia n-ta rata nie procentuje). Zatem

FV = ±R_l(L+j)'-t.

Porównując te wzory (i zasadę ich tworzenia) łatwo zauważyć, że PV{l + i)ⁿ = FV

Istotnie

= FV.

PV(l + i)ⁿ = (1 + i)ⁿ XX1 + i)-^j = XXl + i)-^j( 1 + *)” = £    + O"^-1

j=1    3=1    J'=l