6218157034

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW    16

5 Prawdopodobieństwo warunkowe

Otocznie, warunki w jakich zachodzą zdarzenia i inne zdarzenie wpływają na nasze postrzeganie innych zdarzeń. Na przykład widzimy, że ktoś leży bez ruchu na trawie i staramy sie zgadnąć jakie jest prawdopodobieństwo, że jest martwy - gdy wokół się nie dzieje to nie mamy żadnych przesłanek by oszacować to prawdopodobieństwo. Ale jeżeli tuż przed tym usyszeliśmy huk i widzimy obok zamaskowanego człowieka z dymiącym pistoletem w dłoni... to prawdopodobieństwo wzrasta!

Przyjmijmy, że w pewnym badaniu społecznym sześciuset osobom zadano pytanie: „Czy twoim zdaniem w telewizji jest pokazywane za dużo przemocy?”. Wyniki tej ankiety przedstawia poniższa tabela (z podziałem na płeć osób badanych):

	TAK	NIE	NIE MAM ZDANIA	RAZEM
kobiety	256	45	19	320
mężczyźni	162	95	23	280
RAZEM	418	140	42	600

Na podstawie tej tabeli możemy obliczać różne prawdopodobieństwa. Na przykład, prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej grupy uważa, że w telewizji jest za dużo przemocy wynosi P(T) =    « 0,7, a prawdopodobieństwo, że wylosujemy mężczyznę P{M) = ^ « 0,47 (dalej będziemy

oznaczać zdarzenia: wylosowano mężczyznę - M, kobietę - K, osoba odpowiedziała tak - T, nie N,

NIE MAM ZDANIA - Z).

Prawdopodobieństwo, że kobieta odpowiedziała tak wynosi P(T\K) = ||| = 0,8, bo 256 kobiet spośród 320 odpowiedziało twierdząco w tym przypadku nie intersują nas mężczyźni. Zwróćmy uwagę na notację tego zdarzenia: T\K oznacza osoba odpowiedziała tak pod warunkiem, że była kobietą. Aby obliczyć to prawdopodobieństwo zmieniliśmy przestrzeń probabilistyczną: obliczaliśmy szansę wylosowania osoby odpowiadającej tak tylko ze zbioru 350-elementowego, a nie z całej 600-ełementowej przestrzeni probabilistycznej.

Przykład

W pudełku są 4 monety: 3 uczciwe i jedna mająca reszkę na obu stronach. Wbieramy losowo jedną z monet i rzucamy.

(a)    Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadła reszka? Obliczamy to z drzewa prawdopodobieństw:

korzeń-uczciwa |    -orzeł |

- reszka |

-dwie reszki j-reszka 1

Stąd P(reszka) = |‘| + j- l = |.

(b)    Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucano monetą z dwiema reszkami jeżeli wiadomo, że wypadła reszka?

Wkład monety z dwiema reszkami w wyrzucenie reszki to \, zatem

i 2

P(moneta z dwiema reszkami|reszka) = -§■ = -.

□

Ten przykład pokazuje, że (w przypadku schematu klasycznego)

P(A\B) = -i?