6218157039

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW    20

6 Prawdopodobieństwo całkowite

Wzór na pradwopodobieństwo całkowite można wyrazie „filozoficnie": całość jest sumą swoich części [RYSUNEK - całość jest sumą części]

Przykład

W paczkach chrupek sa pieniądze (tradycyjna promocja W sklepie jest 80% chrupek naturalnych i 20% cebulowych. W 1% naturalnych i 5% cebuowych są prezenty promocyjne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo trafimy na prezent?

Niech A będzie zdarzeniem „znaleźliśmy prezent”, N - chrupki naturalne, C - chrupki cebulowe. Wtedy

A = (dniV)u(dnC).

Ponieważ zdarzenia A fi N i A fi C się wykluczają, to P(A) = P(A fi N) + P(A fi C), a stąd (stosując wzór na iloczyn prawdopodobieństw) mamy:

P{A) = P{N)P(A\N) + P(C)P(A\C)

Teraz można obliczyć szukane prawdopodobieństwo: P(A) = 0,8 ■ 0,01 4- 0,2 • 0,05 = 0,018.    □

Wzór, który powstał w przykładzie można uogólnić na n zadarzeń.

Twierdzenie. (Wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Niech B\, B₂, Bg,..., B_n będą zdarzeniami wa-zajemnie wykluczającymi się, i takimi, ża zwsze zachodzi choć jedno z nich, i każde ma niezerowe prawdopodobieństwo (Bi UB₂U...UB„ = U, Bk fi B_m = 0 dla k,m < n i P{Bk) > 0 dla k < n) to dla dowolnego zdarzenia A C Q:

P(A) = f;F(S_t)P(A|S*).

fc=l

□

ZADANIA Zadanie 52.

Zamówione „zabytkowe” wazy (z „epoki Ming”) przywiezione zostały w 3 skrzyniach: w jednej 10, w drugiej 15. W transporcie obie skrzynie zostały uszkodzone: w pierwszej pękły lub wyszczerbiły się 3 wazy, a w drugiej 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana waza jest niepełnowartościowa?

□

Zadanie 53.

Fabryka współpracuje z dwoma kooperantami dostarczającymi śruby. Od kooperanta I pochodzi 40%, a do kooperanta II 60% śrub. Wady ma 0,2% śrub od kooperanta I i 0,1% od kooperanta II. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybana śruba jest dobra.    □

Zadanie 54.

80% tych, którzy są dobrzy z matematyki I jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa, ale tylko 30% tych, którzy mają kłopoty z matematyką I jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa. Jeżeli 40% (90%) jest dobrych z matematyki I to jak wielu jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa? □

Zadanie 55.

W pewenym mieście są 4 zakłady usługowe. ± mieszkańców korzysta z zakładu Z], ]z zakładu Z₂, | z