plik


1 Politechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki Prof. dr hab. in|. Jan Maciej Ko[cielny PODSTAWY AUTOMATYKI PODSTAWY AUTOMATYKI cz[ 7 Stabilno[ 2 Stabilno[ Stabilno[ jest cech ukBadu, polegajc na powracaniu do stanu rwnowagi staBej po ustaniu dziaBania zakBcenia, ktre wytrciBo ukBad z tego stanu. a) b) y y 4 2 3 2 1 t t 1 3 3 Stabilno[ Zamknity ukBad liniowy bdziemy uwa|a za stabilny, je|eli: Zamknity ukBad liniowy bdziemy uwa|a za stabilny, je|eli: " przy ka|dej skoDczonej warto[ci zakBcenia z(t) i " przy ka|dej skoDczonej warto[ci zadanej w(t) oraz " dla dowolnych warunkw pocztkowych sygnaB wyj[ciowy y(t) d|y bdzie do skoDczonej warto[ci ustalonej dla czasu d|cego do nieskoDczono[ci. UkBad jest stabilny asymptotycznie, gdy po zanikniciu zakBcenia ukBad powraca do tego samego stanu rwnowagi co zajmowany poprzednio. 4 Stabilno[ UkBad zamknity opisany jest za pomoc liniowego rwnania r|niczkowego lub odpowiadajcej mu transmitancji operatorowej: n n-1 m m-1 d y d y d z d z an n + an-1 n-1 + K + a0 y = bm m + bm-1 m-1 + K + b0 z dt dt dt dt bm sm + bm-1sm-1 + K + b0 y(s) M (s) G(s) = = = z(s) N(s) ansn + an-1sn-1 + K + a0 Rwnanie charakterystycznego ukBadu zamknitego - (mianownik Rwnanie charakterystycznego ukBadu zamknitego - (mianownik transmitancji operatorowej rwny zeru) N(s) = ansn + an-1sn-1 +K+ a0 = 0 Pierwiastki rwnania charakterystycznego ukBadu zamknitego - sk 5 Stabilno[ Stabilno[ jest cech ukBadu, nie zale|y od charakteru zakBcenia Aby stwierdzi czy dany ukBad jest stabilny, wystarczy zbada przebieg jego charakterystyki impulsowej: lim g(t) = 0 g(t) = L-1[G(s)] t!" PrzykBady: L(s) A B g(t) = L-1 (s +1)(s + 2) = L-1 +1 + s + 2 = Ae-t + Be-2t s s +1 s + 2 (s +1)(s + 2) L(s) A B C g(t) = L-1 = L-1 + + = Ae-t + Be-2t + Cte-2t s +1 s + 2 (s + 2)2 (s +1)(s + 2)2 L(s) A Bs + C g(t) = L-1 = L-1 s +1 + s2 + 2s + 4 = (s +1)(s2 + 2s + 4) C - B - 2 + j 12 - 2 - j 12 Ae-t + Be-t "cost " 3 + e-t sin t " 3 s1 = -1, s2 = , s3 = 2 2 3 6 Stabilno[ PrzykBady: L(s) A B lim g(t) = B g(t) = L-1 = L-1 = Ae-t + B t!" s +1 + s (s +1)s L(s) A B C lim g(t) =" g(t) = L-1 = L-1 = Ae-t + B + Ct s +1 + s + s2 t!" (s +1)s2 L(s) A B lim g(t) =" g(t) = L-1 = L-1 t!" s +1 + s - 2 = Ae-t + Be2t (s +1)(s - 2) lim g(t) =" L(s) A Bs + C g(t) = L-1 = L-1 t!" s +1 + s2 - 2s + 4 = (s +1)(s2 - 2s + 4) C - B 2 + j 12 2 - j 12 Ae-t + Bet "cost " 3 + et sin t " 3 s1 = -1, s2 = , s3 = 2 2 3 7 Konieczny i dostateczny warunek stabilno[ci Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilno[ci asymptotycznej ukBadu jest, aby pierwiastki rwnania charakterystycznego ukBadu zamknitego (bieguny) byBy ujemne lub miaBy ujemne cz[ci rzeczywiste: Re(sk ) < 0 UkBad jest stabilny nieasymptotycznie, je[li jego rwnanie charakterystyczne oprcz pierwiastkw rwnanie charakterystyczne oprcz pierwiastkw ujemnych i zespolonych o ujemnych cz[ciach rzeczywistych posiada jeden pierwiastek zerowy UkBad jest niestabilny, je[li jego rwnanie charakterystyczne posiada wicej ni| jeden pierwiastek zerowy lub pierwiastki dodatnie lub zespolone o dodatnich lub zerowych cz[ciach rzeczywistych 8 Stabilno[ Stabilno[ jest cech ukBadu, nie zale|y od charakteru zakBcenia Ograniczenie stosowalno[ci kryterium bezpo[redniego Trudno[ci wyznaczenia pierwiastkw rwnania charakterystycznego ukBadw opisanych rwnaniami r|niczkowymi wy|szych rzdw (wyskoki stopieD rwnania charakterystycznego) Metody oceny stabilno[ci bez konieczno[ci obliczania pierwiastkw rwnania charakterystycznego: " kryterium Hurwitza " kryterium MichajBowa " kryterium Nyquista 9 Kryterium Hurwitza y(s) M (s) G(s) = = z(s) N(s) Rwnanie charakterystyczne ukBadu : N (s) = 0 an sn + an-1sn-1 + K + a1s + a0 = 0 Warunek 1 Warunek 1 wszystkie wspBczynniki rwnania charakterystycznego istniej i maj jednakowy znak (warunek konieczny, ale niedostateczny) an > 0, an-1 > 0, K , a0 > 0 10 Kryterium Hurwitza Warunek 2  podwyznaczniki "i, od i=2 do i=n-1, wyznacznika gBwnego "n s wiksze od zera. Wyznacznik "n, utworzony ze wspBczynnikw rwnania charakterystycznego, ma n wierszy i n kolumn: an-1 an 0 0 0 K an-3 an-2 an-1 an 0 K n n-1 n n-1 a s + a s + K + a s + a = 0 an s + an-1s + K + a1s + a0 = 0 " = a a a a a K "n = an-5 an-4 an-3 an-2 an-1 K an-7 an-6 an-5 an-4 an-3 K K K K K K K Kryterium umo|liwia stwierdzenie stabilno[ci nieasymptotycznej i asymptotycznej. Stabilno[ nieasymptotyczna zachodzi wtedy, gdy w rwnaniu charakterystycznym wspBczynnik: a0 = 0 Nie mo|na bada stabilno[ci ukBadw, w ktrych wystpuj czBony opzniajce 11 Kryterium Hurwitza PrzykBad: N(s) = s4 + 3" s3 + 2" s2 + 2" s +1 = 0 3 1 0 0 2 2 3 1 "n=4 = 0 1 2 2 0 0 0 1 an-1 an 3 1 an-1 an 3 1 s3 s3 " = = det(" ) = 6 - 2 = 4 > 0 "2 = = det("2) = 6 - 2 = 4 > 0 a an-2 2 2 n-3 an-1 an 0 3 1 0 a 2 2 3 det("3) = 12 - 4 - 9 = -1 < 0 "3 = an-2 an-1 = n-3 an-4 an-3 0 1 2 n-5 a UkBad niestabilny PrzykBad: N(s) = s4 + 3s3 + 2s +1 = 0 12 Kryterium Hurwitza PrzykBad: N(s) = s5 + 3" s4 + 2" s3 + 2" s2 + s = 0 N(s) = s4 + 3" s3 + 2" s2 + 2" s +1 = 0 3 1 0 0 2 2 3 1 2 2 3 1 " = "n=4 = 0 1 2 2 0 0 0 1 an-1 an 3 1 "2 = = det("2) = 6 - 2 = 4 > 0 a an-2 2 2 n-3 an-1 an 0 3 1 0 a 2 2 3 det("3) = 12 - 4 - 9 = -1 < 0 "3 = an-2 an-1 = n-3 an-4 an-3 0 1 2 n-5 a 13 Kryterium Nyquista Kryterium Nyquista - pozwala bada stabilno[ ukBadu (tylko) zamknitego na podstawie przebiegu charakterystyki czstotliwo[ciowej ukBadu otwartego, ktr mo|na wyznaczy zarwno analitycznie, jak i do[wiadczalnie z Transmitancja ukBadu otwartego: Transmitancja ukBadu zamknitego: y(s) G1(s) u(s) MO (s) GZ (s) = = GO (s) = = G1(s)G2(s) = z(s) 1+ G1(s)G2(s) z(s) NO (s) 14 Kryterium Nyquista y(s) G1(s) u(s) MO (s) GZ (s) = = GO (s) = = G1(s)G2(s) = z(s) 1+ G1(s)G2(s) z(s) NO (s) y(s) G1(s) GZ (s) = = Mo (s) z(s) 1+ No(s) y(s) G1(s)No(s) GZ (s) = = Z z(s) N (s) + M (s) z(s) No(s) + Mo (s) Rwnanie charakterystyczne Rwnanie charakterystyczne ukBadu otwartego: ukBadu zamknitego: NZ (s) = MO (s) + NO (s) = 0 NO (s) = 0 Oba rwnania s stopnia n 15 Kryterium Nyquista- przypadek 1 UkBad otwarty jest stabilny. Rwnanie charakterystyczne ukBadu otwartego nie ma pierwiastkw dodatnich lub o dodatnich cz[ciach rzeczywistych (mo|e mie pierwiastki zerowe). Przypadek ten dotyczy znacznej wikszo[ci ukBadw. Kryterium odnoszce si tylko do tego przypadku nazywa si uproszczonym Warunek stabilno[ci ukBadu zamknitego: Warunek stabilno[ci ukBadu zamknitego: Je|eli rwnanie charakterystyczne ukBadu otwartego nie ma pierwiastkw dodatnich lub o dodatnich cz[ciach rzeczywistych, to ukBad  = " zamknity jest stabilny, je|eli charakterystyka amplitudowo-fazowa ukBadu otwartego GO(j) dla pulsacji  od 0 do +" nie obejmuje punktu (-1,j0). 16 Kryterium Nyquista- przypadek 1 Je|eli otwarty ukBad regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo- fazowa GO(j) dla pulsacji  od 0 do +" nie obejmuje punktu (-1,j0), to wtedy i tylko wtedy po zamkniciu bdzie on rwnie| stabilny.  = " 17 Kryterium Nyquista- przypadek 1 Charakterystyki ukBadw, ktre Charakterystyki ukBadw, ktre po zamkniciu s stabilne po zamkniciu nie s stabilne  = "  = " (-1, j0) (-1, j0) 18 Kryterium Nyquista- przypadek 1 W przypadku zBo|onego ksztaBtu krzywych GO(j) wygodnie jest posBugiwanie si z tzw.  reguBy lewej strony : ukBad zamknity jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje si w obszarze le|cym po lewej stronie charakterystyki GO(j), idc w stron rosncych . Stabilne: Niestabilne:  = "  = "  = "  = " Mo|emy bada ukBady majce dowolna liczb pierwiastkw zerowych 19 Kryterium Nyquista- przypadek 2 Warunek stabilno[ci ukBadu zamknitego: Je|eli otwarty ukBad regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m pierwiastkw swego rwnania charakterystycznego w prawej pBpBaszczyznie zmiennej s, to po zamkniciu bdzie on stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa ukBadu otwartego dla pulsacji  od 0 do +" okr|a m/2 razy punkt (-1,j0) w otwartego dla pulsacji  od 0 do +" okr|a m/2 razy punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim Zastosowanie tego kryterium wymaga znajomo[ci liczby pierwiastkw rwnania charakterystycznego ukBadu otwartego z dodatni cz[ci rzeczywist, co bardzo ogranicza jego znaczenie. Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdy| ukBady automatyki spotykane w praktyce s zwykle w stanie otwartym stabilne (m=0). 20 Zapas stabilno[ci PrzykBadowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla ukBadw otwartych Warunek stabilno[ci: jQ()    1 "M " " "     GO( j- ) <1 -     M( M( -   )  ) -  = 0  = 0      1 -1 -  pulsacja, dla ktrej: = "  "  "  " P()    " " " " p    arg GO( j- ) = -1800 1 Gdzie: "M  zapas moduBu 2 "  zapas fazy 1 "M = M (- ) 21 Logarytmiczne kryterium Nyquista Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa ( tzw. wykres Bode a) L( ) [dB]     20  [rd/s]    p     -       0  L L " " " " " " 2 " " -20 -20 1 L( - )       ()       p    0  -   [rd/s]          L(- ) = 20lg M (- ) )# 0 -    2 lub " " " " (p)       1 (p) > -,L(p) = 0 22 Logarytmiczne kryterium Nyquista Warunek stabilno[ci dla charakterystyk czstotliwo[ciowych podanych w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L() i fazowej (): L(x ) = 20logGO( j- ) < 0 Definicja: Zamknity ukBad Definicja: Zamknity ukBad automatycznej regulacji jest stabilny wtedy, gdy logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ukBadu otwartego ma warto[ ujemn przy pulsacji odpowiadajcej przesuniciu fazowemu -1800. 23 Logarytmiczne kryterium Nyquista UkBad otwarty zapisa mo|na za pomoc logarytmicznych charakterystyk czstotliwo[ciowych - amplitudowej L() i fazowej ().  = 0 Charakterystyka amplitudowo- fazowa, charakterystyka Black a  =" 24 Logarytmiczne kryterium Nyquista PrzykBadowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla zBo|onych ukBadw otwartych (a  stabilny, b - niestabilny)  = " 25 Logarytmiczne kryterium Nyquista Je|eli ukBad otwarty jest stabilny, to ukBad zamknity stabilny jest wtedy, gdy liczba warto[ci dodatnich L(x) jest parzysta, a niestabilny  gdy liczba warto[ci dodatnich L(x) jest nieparzysta 26 Zalety kryterium Nyquista Charakterystyki czstotliwo[ciowe ukBadu otwartego mo|na wyznaczy do[wiadczalnie i analitycznie Mo|na nie tylko zbada stabilno[, ale tak|e okre[li oddalenie ukBadu od granicy stabilno[ci Umo|liwia badanie stabilno[ci ukBadw zawierajcych czBony opzniajce . Zalecane zapasy stabilno[ci 300 d" " d" 600 ; 2 d" "M d" 4 ; 6 [dB] d" "L d" 12[dB] d" " d" d" " d" d" " d" d" " d" d" " d" d" " d" d" " d" d" " d" d" " d" 27 PrzykBad y + G1 Najcz[ciej wymagamy: - Zapas moduBu: "L=6-12 dB G3 G2 Zapas fazy: "=30-60O u - e y0 R1 + k1 k2 1 1 2 G1(s) = G1(s) = G (s) = G2(s) = G3(s) = k3 G3(s) = k3 R(s) = k (1+ ) R(s) = k (1+ ) p T2s +1 (T1s +1)2 Ti s k1k2k3 = 50 kp = 0.4 T1 =100 T2 =10 Ti =100 k1 k2 k1 k2 (Ti s +1) 1 GO (s) = k (1+ )k3 = k1k2k3k p p Ti s (T1s +1)2 T2s +1 (T1s +1)2 T2s +1 Ti s 1 1 1 GO (s) = 50" k " " p 100s +1 10s +1 100s 28 PrzykBad c.d L() dB 20log k1k2k3k = 20log 20 = 26dB p 30 20 10  0.001 0.01 0.1 1 10 1 1 1 -10 GO (s) = 20 " " 100s +1 10s +1 100s -20 -30 -40 -40 () 90 0.001 0.01 0.1 1 10  -90 -180 -270 29 PrzykBad c.d L() dB 30 20 10  0.001 0.01 0.1 1 10 -10 1 100s +1 -20 1 1 1 GO (s) = 20 " " -30 100s +1 10s +1 100s -40 -40 () 90 0.001 0.01 0.1 1 10  -90 -180 -270 30 PrzykBad c.d L() dB 30 20 10  0.001 0.01 0.1 1 10 -10 1 10s +1 -20 1 1 1 GO (s) = 20 " " -30 100s +1 10s +1 100s -40 -40 () 90 0.001 0.01 0.1 1 10  -90 -180 -270 31 PrzykBad c.d L() dB 30 20 1 100s 10  0.001 0.01 0.1 1 10 -10 -20 1 1 1 GO (s) = 20 " " -30 100s +1 10s +1 100s -40 -40 () 90 0.001 0.01 0.1 1 10  -90 -180 -270 32 PrzykBad c.d L() dB 1 1 1 30 GO (s) = 20 " " 100s +1 10s +1 100s 20 10 6dB  0.001 0.01 0.1 1 10 -10 -20 Aby zapewni zapas moduBu 6 dB nale|y przesun logarytmiczn ch-k -30 amplitudow o 12 dB w dB  -40 -40 to oznacza 4 krotne zmniejszenie to oznacza 4 krotne zmniejszenie wzmocnienia w ukBadzie otwartym przez dobr warto[ci wzmocnienia () regulatora kp=0.1 90 0.001 0.01 0.1 1 10  -90 -180 -270 33 PrzykBad c.d Inne metody korekcji ukBadu: " Zmiana Ti lub Td regulatora " Dodanie specjalnego czBonu korekcyjnego o transmitancji: Td s +1 GK (s) = Ts +1 y + G1 G1 - G3 G2 u - e y0 R1 GK + 34 PrzykBad 2 Zbada stabilno[ ukBadu i okre[li jego zapas moduBu + z(s) y(s) 1 _ _ (s3 + 3s2 + s + 1) + + + + + + + + + 1 G0(s) = s3 + 3s2 + s +1 a2 a3 3 1 "2 = = *# 0 a0 a1 1 1 35 PrzykBad 2 1 1 1- 32 - j( -3) G0( j) = = = - j3 - 32 + j +1 1- 32 + j( -3) 1- 32 - j( -3) 1- 32 - ( -3) = + j , (1- 32)2 + ( -3)2 (1- 32)2 + ( -3)2 1- 32 - ( -3) P() = ; Q() = . P() = ; Q() = . (1- 32)2 + ( -3)2 (1- 32)2 + ( -3)2  1 0 [rd/s] 1 " 3 P() 1 0 -0.5 0 Q() 0 -2.6 0 0 36 PrzykBad 2 Charakterystyka amplitudowo  fazowa ukBadu otwartego ukBadu otwartego 1 1 "M = = = 2 M (- ) 0.5

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Ster Proc Dyskret 6 [tryb zgodności]
PA3 podstawowe elementy liniowe [tryb zgodności]
Wycena spolki przez fundusze PE [tryb zgodnosci]
4 Sieci komputerowe 04 11 05 2013 [tryb zgodności]
I Wybrane zagadnienia Internetu SLAJDY [tryb zgodności]
dyrektorzy mod 1 [tryb zgodności]
Neurotraumatologia wyk??mian1 [tryb zgodności]
Psychologia osobowosci 3 12 tryb zgodnosci
Chemia Jadrowa [tryb zgodnosci]
Wykład 6 [tryb zgodności]
na humanistyczny enigma [tryb zgodności]
BADANIE PŁYNU MOZGOWO RDZENIOWEGO ćw 2 2 slajdy[tryb zgodności]
(cwiczenia trendy?nchmarking [tryb zgodności])id55
5 Popyt konsumenta [tryb zgodno Ťci]
15 Marek Panfil [tryb zgodnosci]
Wyklad 7 Nieparametryczne metody statystyczne PL [tryb zgodności]
Ek w 10, Pomiar dochodu narodowego, 15maj11 [tryb zgodności]
wykład 7i8 4h podstawy zarządzania m jablonski [tryb zgodności]
(Tkanka nerwowa [tryb zgodności])

więcej podobnych podstron