102799

MtoUs-hnołogia I s<-in. M .Twardowska Granica i ciągłość funkcji. 1

Granica i ciągłość funkcji.

•    Podstawowe granice: lim = 1, lim (l 4-    = e, lim (l - ^)^x = i, lim (1 4- x)x = e.

X—0 ^x    x—± oo^v    z'    x—±oc^{v    z/ e}    X—0^V

•    Gdy funkcja / jest określona na pewnym otoczeniu punktu xo, to funkcję tę nazywamy ciągłą w punkcie x<), jeżeli lim f(x) = /(xo)

X—XO

•    Tw. Weierstrassa.

Jeżeli fun kej a /(x) jest ciągła na przedziale domkniętym (a.b), to jest na tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale takie dwa punkty ej i C2, że V /(ci) </(x) </(C2)

•    Tw. Darboux.

Jeżeli funkcja /(x) jest ciągła na przedziale domkniętym (a, 6).    f{o)^f(b) oraz liczba q zawarta

jest pomiędzy f(a) i f(b), to istnieje taki punkt c£(a,b), że f(c) = q.

2. Pokazać, że nie istnieją granice funkcji:

a) lim sin -

⁷ x—o x

3. Policzyć granice funkcji: a) lim (-3x¹ + x-2)

b) lim

x—o

s/\ - cos 2x

c) lim 2²/*^łna

b) limtgCxctg4x

x—O

c) lim

sin 3x

d) lim

x—0

g) lim

x—0

j) lim

x-*oo

m) lim x sin—: lim xsin-

x—0 X x—00    X

„ 2x

4- 1

e)

lim

x—00 \ X + 1/

x—o x 4- sin x f) lim x(y/x¹ 4- 1 — x)

tgX - 8111 X

X³

Jt+^Ś+\/x

J771

1

h) lim

x—O

k) lim

x~*0

n) lim

2x ln(l 4- x)

3x⁴ - 4x³ 4- 1

i) lim

2x

x—o tg 5x 1) lim x2*

x —O—

p)

lim fi±|y

x—00 \x — 3/

’x“i (x-l)¹ r) lim

' x—oc \2x — 5/

, v/x + 3 - 3 o) lim--—

x—*6    X — 6

s) lim

In x³ - 3

x—« x — e

4. Zbadać ciągłość funkcji:

( !tp    ^X^²

a) /(x) = < 5 |x — 1 j 1 < x < 3 l    x¹    x > 3

b) /(x) =

2*-2 - 1

2^5 4- 1 1

x = 2

d) f(x) =

xy/x*

-1 x = 0

e) /(x) =

+ 2x x < -2 x > -2

f) /(x) =

x¹ - 2x - 3 x(x - l)(x — 3)

5. Wykazać, że równanie

a)    3* 4- 5^X = 9 ma pierwiastek w przedziale (1,2)

b)    xsinx = 7 ma pierwiastek w przedziale (2n.

1

a)    lim /(x) = 1, lim /(x) = 00, lim f(x) = -00, lim f(x) = 5, lim f(x) = -3. lim /(x)=-l

2

Naszkicować funkcje, o których wiemy że:

3

x—-00    x—1-    x— 1+    x—2-    x—2+    X—00

4

b)    lim /(x) = 00, lim f(x) = 0. lim f(x) = 00, lim f(x) = 00, lim /(x) = -oc, lim f(x) = 1

x—-00    j—1 -    z—1+    x—2-    x—2+    x—00