92743

Chemia fizyczna ■ lermitdynamika molekiilarmi 2010/2011 28

4.    Zalety równań ruchu w postaci Hamiltona:

-    Forma niezależna od układu współrzędnych.

-    Równania są pierw szego rzędu, co ułatwia ich rozwiązanie.

-    Determinuje stan układu poprzez określenie energii, a nie sił (jak w przypadku równali Newtona).

5.    Przykład: ruch ciała w kiemnku pionowym w polu grawitacyjnym Ziemi.

Dla współrzędnych (/?,/> - wysokość, pęd w jednym wymiarze), hamiltonian będzie miał postać

Im

H(p_yh) = -jf- + mgh

Równania Hamiltona mają formę:

p/m = h

mg=-p

Całkując drugie równanie po czasie otrzymamy P(0= Po-mgt

Podstawiając wynik do pierwszego równania dochodzimy do zależności.

h = p₀/m-gt

która po scałkowaniu daje związek położenia (wysokości) z czasem h(t) = h_v + p₀t/m-±gr

Jak widać, rozwiązanie jest identyczne z tym. które zostało otrzymane dawno temu (w liceum) za pomocą równań Newtona.

6.    Stan mechaniczny układu można opisać za pomocą współrzędnych pędu i położenia

(pi,p2.......Pn.q1.q2,.....q_n). Może on być zwizualizowany poprzez punkt w ó/V-wymiarowej

przestrzeni położeń i pędów - tzw. przestrzeni fazowej. Fwolucja układu /V-cząsteczkowego może być zinterpretowana jako trajektoria tego punktu.

7.    Trajektoria fazowa dla przypadku rzutu pionowego Z równania na pęd (pkt. 5). wynika

_t _ Po - P

mg

i po podstawieniu do wyrażenia na wysokość    _

/, = /, , <A»~/»>Po (Po~P)^ł    ‘

m²g    2m^:g

p

otrzymujemy równanie    i'~

Jest to równanie paraboli h(p) o maksimum ze współrzędnymi (p = 0: h = 1^ + p² / 2nrg ).

2m    2m

Zapis: mgh + — = mgh_u + —