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194 Travaux de Thćońe de* Notnbnw

Dćmonstration de Pimplication H-*C,. Conune b*~ 4ac n’e*t pas un carrć, le trinóme ax*+ftx+o est imkiuctible. 11 remplit aussi la eondition S, puisque

(/(O), /(l),/(2»=(«,<i+M-«,4a + 2&+c)= [c,a + b_t2a)

- (c, a + b, a) ™ (c, b, a) m l .

LMmplication H-*C, sc trouve ainsi dćmontrfc.

C,.,. Si k rat un entier et — k n'eat pan un earrt, il eriste une infinite de nombreii premiera de la formę z* 4- k.

(Pour * — 1 cf. Hardy et Littlewood [10], p. 48, Conjcctuie E).

Pour dćduire C,., de C, il snffit de poser, dans a = l, b ™ 0, c = k.

Ci.,.,. Tout nombre naturel pair rat d'une infiniti de manierc* aomme de deuz nombrrs premiera ronjuguła du eorpa K(V — \).

Dćmonstration de rimplication (^,-*0,^. Pour k naturel donnć il existe, d’apr£s C,,, une infinite de nombres premier* >9 de la formę p = x*-f k*; ee* nombres sont, on le voit san* peine, de la formę If-fl, et on a p •- {k + xi)(h— ri) ou *+» et k—ri sont des nombre* premiera conjuguto du eorpa K(Y^r—\), et 2k= (Ł+xi)+(Jfc—«).

Quatit aux nombres impairs, on peut dćmontrer que tout nombre naturel impair < 29 est la sonnne de deus nombre* premiera du corps K(Y—1), mais il existe une infinitć de nombres impairs qui ne sont piw de telles sommes, par esemple tous les nombres 1704+29 et ton* les nombres 130i + 33, ou k= 0,1,2,...

II est a remarquer que sans avoir recours k Pliypotbese H nous ue sarons pas dćmontrar non seuiement qu’il eziste une infinite de nombres premiers de la formę x*+l, oił z est. un nombre naturel, mais aussi qu*il esiste une infinitć de nombres premier* de la formę J^+y*+l, oił x et y sont des nombres naturels. Ce pendant ou sait dćmontrer qu’il existc une infinitć de nombres premiers dc la formę a^+$*+*•+!, oił x, y, z sont des nombres naturels: tels sont, par eiemple, tous les nombres premiers de la formę 7.

C₄. L'iquation ax* + bx+c = dy, ou a, b, e, d aont dra entiera, a > 0 et d > 0, a une tnfiniU de aolutiona en nombres premiera x et y ai et aeule-ment ai A = b*— 4ae n'est paa un carri (<Tun nombre entier) et ai elle a au moina une aolution en nombres entiera x,, y₀, tels que (j,y_#, 6ad) = 1.

Demonstration de 1’implication H-*C₄. Nous proueerons sans avoir recours a Phypothtce H que la eondition est nćcessaire.

Si l’ćquation ar*-f fcx-f dy a une infinite de Solutions en nombres premiers, il existe des nombres premiers z, et y, plus grand* que 6ad et tels que arj+6;r*+c = dy₀ et alors on a (a^y,, 6ad) = 1.

Si A ćtait un earró, soit 6*— 4ac «= k*, oii k est un entier > 0, on aurait, romme on le YĆrifie ais4ment lady,= (2ax,-f fc-f Jl)(2ax,-f-6—i). Or, on dóduit sans peine de cette ćgalitl que jmur x, premiers suffisamment grand* le nombre y, ne peut pas etre premier.

La eondition de C, est donc ntk-essairc. Supposons maintenant que le nombre A ne soit pas un earrt⁴ et que x, et y, soient des entiere tels que ax* -f- bx_A -f- o — dy, et (x,y₀, (lad) = 1. Pokoiik

/,(x) = dx-f x„ /,(x) «= adx*-f-(2ax₈+6)x-fy, .

Los polynómes /, et /, sont irróduetibles, puisque

(2ar₀4-fc)^ł—lady, = (2ax,-f 6)*- 4a(axJ+5x,-fc) = 5*— tac = /I

et, d’aprto Pliypottióse, A n’est pas un earró (d’un nombre rationucl).

S’il esistait un nombre premier p tel que p!/i(x)/*(x) pour x entiers, alors, en vertu du thćorfcme de I/agrange, on aurait ou bien p < 3 ou bien p jad*, done toujoursp | Gad* et p |/,(0)/,(0) = x,y₀ et, eoinme (x,y₀, Gad) = 1, d’oń (x,y,, Gad*) = 1, on aurait p|l, ee qUi est impossible. I>*s polynńmes /,(x) fl /*(*) satisfont done aux eonditions de 1’hypothdse II, par const⁴-quent pour une infinitć de nombres naturels x les nombres /i(x) p et /,(x) — q sont premiers et, on yćrifie sans jnune que ap*+t>p + c= dq. l/implication II-*C, est ainsi dćmontrće.

Cu* Tout nombre rationnel > 1 peut tire reprhentt d'une infinite de manieres tous la formę (p*—l)/(ę—1), ou p et q sont des nombres premiers.

Dćmonstration de 1’implication C,-»C_4il. 8oit r un nombre rationnel > 1, donc r = d/a, od a et d sont des nombres naturels, d > a. Posons, dans C„ b = 0, c = d—a. On aura done 5*— 4ac — — ta(d— a) < 0, cc qui n’est pas un earró. Or, les nombres x, *= y₀ = 1 sont tels que (x,y,,6ad) =• 1 et axj-f(d— a) = dy,. En vertu dc C, il cxiste done une infinite de nombres premiers p et q tels que ap*+(d—a) = dq, d’oii (p*—l)/(ę—1) = d/a = r, ee qui prouve quc C₄-C₀.

Co..- II ejciste une infiniU de triangles orthogonaux de cotSs naturels dont deux sont des nombres premiers.

Dćmonstration de 1’implieation Co-Goj. Pour r — 2 il r&ultc de Co que l’ćquation p* m 2ę—1 a une infinite de Solutions en nombres premiers. Or, cette ćquation ćquivaut 4videmmcnt a l^uation P*+ (?—!)* = ę*. On a donc C₄, -»C_OJ • Voici quelques triangles satisfaisant aux eonditions dc Co..=

(3,4,5), (5,12, 13), (11,60,61), (19,380,181), (29,240,241),

(61,1860,1861).

Dans Scripta Mathematica 22 (1956), p. 158, Curiosum 435 (G. An interesting Obsercation) on trouve l’observation qu’il existc un grand nombre

ii*