7945641930

7 Zastosowania pochodnej

Zestaw 7. Zastosowania pochodnej

Zadanie 7.1. Znaleźć asymptoty wykresów następujących funkcji:

	1		X^x
	1 - z^2		2z + 3	^c”^w z^!+i
d) /(z) =	z^3 + z^2z^2 — 4	e) /(z) =	z — 3 \/z^2 — 9	f) /(z) = Vl + £^2 + 2z
g) /(i) =	\/l + z^2 z	h) f(x) =	sin z z	i) /(z) = x^2e~*

Odp.: a) y = 0, z = 1, z = —1, b) z = —§, y = \x— |, cj y = 0, d) x = 2, x = —2, y = z + 1, ej y = 1, y = — 1 (w —oo), f) y — 3z, g)x — 0, y — 1 (w oo), y — —1 (w —oo), h) y — 0, i) y — 0 (w oo).

Zadanie 7.2. Wyznaczyć ekstrema funkcji:

^a) / (*) = 2z³ — 15z² + 36z - 14 b) /(z) = z⁴ + 4x - 2 c) /(z) = _x-^₊^

d) /(8§ = ¹¹    e) /(i) =x-y/x    f) /(z) = <? + e—

Odp.: u) /„«(2) = 13, /min (3) = 14, 6/ /„m(-l) = -5, c/ /_m,„(-2) = -}, /„„(2) = J, i)

/™»(-l) = -2, /„,„(1) = 0, e/ = J, f) /„„(O) = 2.

Zadanie 7.3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji: a) /(z) = xe~^3x b) /(z) = z — ln(l + z) c) /(z) = (z² — 3) e~^x Odp.: a) f /* dla z E (-00,-5), / \ dla z E (—|,oo), b) f f dla x £ (—00, —1) oraz dla z E (0,oo), / \ d/a z E (—1,0), c) f /* dla z G (—1,3), / \ dła z G (—00, —1) oraz dla x G (3,oo).

Zadanie 7.4. Znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach: a) /(z) = z² - 2z + 3, z E [-2,5]    b) /(z)    = 2z³ - 3z² - 36z - 8, z G [-3,6]

c)    /(z) = z — 2y/x, x G [0,5]    d) /(z)    = z² ln z, z G [1, e]

e)    /(z) = 2 sin z + sin 2z, z G [0, |tt]

Odp.; aj /_noiw. (5) = 18, f_najmn. (1) = 2, b) f_najmn. (3) = -89, f_najw. (6) = 100, c) f_najmn. (1) = -1, fnajw. (5) = 5 - 2s/h W 0.52786, d) f_najmn. (1) = 0, f_najw. (e) = e², ej f_najw. (f) = §\/3 « 2.5981,

fnajmn. (l)--2.

Zadanie 7.5. Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji: ^a) f(^x) =    — 12z³ + 48z² b) /(z) =-——    c) (z) = z + sin 2z

d)    f(x) = xe~’    e) /(z) = ^    f) f(x) = ~ - y + z²

Odp.: a) f wypukła dla x G (—00,2), z G (4,00), / wklęsła dla z G (2,4), z = 2, z = 4 punkty przegięcia, a) f wypukła dla z G (—l,oo), / wklęsła dla z G (—00, —1), brak punktów przegięcia, c) f wypukła dla z E (A;|,fc| +1) : k G Z, / wklęsła dla z G (&| — |,/c|) : fc E Z, z = fcf punkt przegięcia, d) f wypukła dla z E (2,00), /    wklęsła    dla z G (—00,2), z = 2    punkt przegięcia,    ej /

wypukła dla z G (e§, 00) , / wklęsła dla z G    (o, ei ) ,    z = e§ punkt przegięcia,    f) f stale wypukła.

14