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exigent non seulement Pemploi de Paxiome du choix, mais aussi des postulats a part qui auraient pour but de garantir l'existence des alephs figurant dans ces theoremes.

§ 2. Proprietes des transformations univoques.

Dans leurs travaux dernierement publies, MM. Banach, Koniget Kuratowski¹) ont fait une observation interes-sante: les demonstrations de certains theoremes de la theorie de 1’egalite des puissances et des nombres cardinaux renferment implicitement comme lemmes certains theoremes generaux sur les transformations biunivoques; or, ces derniers se pretent aux dif-ferentes applications aussi bien dans d’autres branches de la theorie des ensembles qu’en dehors de cette science.

M. Tars ki (1924—1925) a constate que cette observation peut etre etendue a une serie des autres theoremes de la theorie de 1’egalite des puissances et des nombres cardinaux, tout par-ticulierement a ceux, ou Ton ne rencontre que les notions de somme des nombres cardinaux, de produit d'un nombre Cardinal par un nombre fini ou N₀, les relations <!, O etc., et dont les

demonstrations ne s’appuient pas sur le theoreme de bon-ordre (Woblordnungssatz) de M. Zermelo. Tels sont p. ex. les theoremes: 5—8, 13, 17—20, 24—28 du § precedent, un theoreme de M. Zermelo (si m = m -f- Xl_k pour tout k fini, alors

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m = m 4- I n.) et beaucoup d'autres. En analysant leurs demon-

strations, M. Tarski a obtenu certains theoremes sur les proprietes des transformations biunivoques, mais qui ne presentaient pas toujours le meme degre d’elegance et de simplicite que ceux des auteurs cites. D’autres theoremes appartenant au meme cycle ont ete obtenus recemment (1926) par M. Lindenbaum.

MM. Lindenbaum et Tarski ont remarque en outre que dans plusieurs theoremes sur les transformations, aussi bien dans les nouveaux que dans les theoremes publies anterieure-ment, 1’hypothese de biunivocite des transformations n^łest