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point essentielle. Dernierement M. Lindenbaum est alle plus loin, en etendant quelques-uns de ces theoremes, aux „transfor-mations” arbitraires, menie non-univoques; le role des fonctions y est joue par des relations arbitraires (tel est le cas de la ge-neralisation des enonces des theoremes 3 et 4).

Les resultats des recherches dans ce domaine ne sont pas encore convenablement systematises. Nous ne citons donc qu'a titre d'exemple quelques theoremes, d’ailleurs sans en donner toujours la formę la plus generale que nous connaissons a 1’heure actuelle.

M. Tars ki a demontre le lemme suivant:

1    (T). Si [_f(A) = By alors il existe deux suites (CJ et {D_k} des ensembles et deux ensembles E et F verifiant les con-ditions:

(a) A — B= i C_k, B — A= 1 D_k, E-\-F(ZA-B; (b) les

k=--0    k—0

ensembles de la suitę {C_A.} sont disjoints; (c) L (C₀ E) = E, I_f (F) = D₀ -)- F, et, lorsque A: =4= 0, /_/*(C_A.) = D_k; (d) si / est une fonction biunivoque, les ensembles de la suitę {£)*} sont disjoints aussi.

Ce lemme est utilise dans les demonstrations des theoremes 5, 6 et 24 du § 1. D’autres applications de ce lemme, hors de la theorie generale des ensembles, sont donnees au § 5.

2    (T). Si l_f(A) — C et AdBCZC, il existe des ensembles D, D_v E et £, tels que:

(a) a = D + E, B = D_X + E, C=D_l + E_l; (b) D.E= = D_X.E(=D.E_X) = D,.E_X = 0; (c) I_f(D) = D_x et I_f(E) = E_v

Lorsque la fonction / est biunivoque, ce theoreme n’est qu’un cas particulier du theoreme de M. Banach sur les cor-respondances (voir sa notę citee); reciproquement, le theoreme de M. Banach peut etre deduit aisement de 2. Remarquons que Thypothese du theoreme de M. Banach peut etre rendue plus faible: il suffit de postuler, en effet, qu’une seule des deux fonctions qui y figurent soit biunivoque; de plus, meme cette condition pourrait etre omise (comme Pa remarque M. Tarski), si l’on ne desire pas eyiter Paxiome du choix.