1

DRGANIA WYMUSZONE

Układ oscylacyjny na który działa siła wymuszająca.

)

(

2

2

t

F

kx

dt

x

d

m

+

−

=

m

t

F

x

dt

x

d

/

)

(

2

0

2

2

=

+

ω

- równanie niejednorodne

Podstawmy

)

cos(

)

(

0

t

F

t

F

ω

⋅

=

m

k

=

2

0

ω

)

cos(

)

sin(

)

cos(

2

t

C

a

t

C

v

t

C

x

ω

ω

ω

ω

ω

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

=

)

cos(

)

cos(

)

cos(

0

2

0

2

t

F

t

C

m

t

C

m

ω

ω

ω

ω

ω

⋅

+

⋅

⋅

−

=

⋅

−

)

(

2

2

0

0

ω

ω

−

=

m

F

C

•

Jeżeli

0

ω

ω

<<

to

0

>

C

•

Jeżeli

0

ω

ω

>>

to

0

<

C

•

przy dużych wartościach

2

0

2

ω

ω

−

amplituda maleje.

•

Jeżeli

0

ω

ω

≈

to

∞

→

C

- drgania rezonansowe

)

cos(

)

(

t

C

t

x

ω

⋅

=

2

DRGANIA WYMUSZONE z TŁUMIENIEM

F

kx

dt

dx

C

dt

x

d

m

=

+

+

2

2

m

F

x

dt

dx

dt

x

d

=

+

+

2

0

2

2

ω

γ

gdzie

m

C

=

γ

Dla harmonicznej siły wymuszającej:

)

cos(

)

(

0

t

F

t

F

ω

⋅

=

Rozwiązaniem równania jest:

)

cos(

)

(

0

θ

ω

+

⋅

=

t

x

t

x

(

)

[

]

2

1

2

2

2

2

2

0

0

0

/

ω

γ

ω

ω

+

−

=

m

F

x

2

2

0

tg

ω

ω

γω

θ

−

−

=

3

AMPLITUDA I FAZA DRGAŃ WYMUSZONYCH

(

)

[

]

2

1

2

2

2

2

2

0

0

0

/

ω

γ

ω

ω

+

−

=

m

F

x

2

2

0

tg

ω

ω

γω

θ

−

−

=

4

ENERGIA ZMAGAZYNOWANA

Ś

rednia energia drgań w stanie ustalonym jest stała,

równa sumie średniej energii kinetycznej i średniej
energii potencjalnej.

Wartość średnia zmagazynowanej energii

>

<

+

>

<

>=

<

2

2

0

2

2

1

2

1

x

m

v

m

E

m

ω

2

2

0

2

0

2

0

2

0

2

1

sin

2

1

cos

ω

ω

ω

ω

x

v

t

x

v

x

x

t

x

x

>=

<

−

=

>=

<

=

(

)

2

0

2

0

2

4

1

x

m

E

m

⋅

+

>=

<

ω

ω

5

MOC DOSTARCZANA

Ż

eby utrzymać stałą amplitudę drgań trzeba dostarczać

energii z zewnątrz. Energia dostarczana równa jest pracy
wykonywanej przez siłę zewnętrzną przeciwko sile oporu.

Moc jest równa pracy wykonanej w jednostce czasu.
Jednostką mocy jest 1 wat [1W=1 J/s]:

dW

F ds

P

F v

dt

dt

⋅

=

=

= ⋅

w przypadku ruchu jednowymiarowego, kiedy

F = F

x

dx

P

F

dt

=

W ruchu drgającym moc dostarczana jest przez siłę

dx

F

m

dt

γ

=

Średnia moc dostarczona:

2

2

dx

P

m

mv

dt

γ

γ





< >=< ⋅

>=< ⋅

>









2

0

2

2

1

x

m

P

ω

γ

⋅

⋅

>=

<

•

po włączeniu siły wymuszającej gromadzenie energii

•

w stanie ustalonym pokrycie strat cieplnych.

6

DRGANIA TŁUMIONE

0

2

0

=

+

+

x

x

x

ω

γ







rozwiązanie

t

i

e

A

x

α

~

~

=

Sprawdzenie:

0

)

(

2

0

2

=

+

+

x

x

i

x

i

ω

αγ

α

0

~

)

(

2

0

2

=

+

+

−

t

i

e

A

i

α

ω

αγ

α

0

2

0

2

=

−

−

ω

αγ

α

i

( równanie kwadratowe na

α

)

2

0

2

4

2

1

2

ω

γ

γ

α

+

−

±

=

i

2

2

0

4

1

2

1

γ

ω

γ

α

−

±

=

i

Możliwe są dwa przypadki:

0

4

1

2

2

0

>

−

γ

ω

lub

0

4

1

2

2

0

≤

−

γ

ω

7

DRGANIA TŁUMIONE

Przypadek 1

0

4

1

2

2

0

>

−

γ

ω

Dwa rozwiązania











=

=

−

−

−

t

i

t

t

i

t

e

e

A

x

e

e

A

x

γ

γ

ω

γ

ω

γ

2

1

2

2

2

1

1

1

~

~

~

~

ω

γ

ω

=

−

2

2

0

4

1

Ogólne rozwiązanie

)

ˆ

ˆ

(

~

2

1

2

/

t

i

t

i

e

A

e

A

e

x

γ

γ

ω

ω

γ

−

−

+

=

Rozwiązanie rzeczywiste

)

cos(

0

2

/

0

ϕ

ω

γ

γ

+

=

−

t

e

A

x

t

Otrzymaliśmy oscylacje o częstości

2

/

1

2

2

0

)

4

1

(

γ

ω

ω

γ

−

=

i amplitudzie

2

/

0

)

(

t

e

A

t

A

γ

−

=

A

0

i

ϕ

0

wyznacza się

z warunków początkowych

8

DRGANIA TŁUMIONE

)

cos(

0

2

/

0

ϕ

ω

γ

γ

+

=

−

t

e

A

x

t

T

T

t

A

t

A

γ

δ

)

2

/

1

(

)

(

)

(

ln

=

+

=

logartymiczny dekrement tłumienia.

9

RUCH APERIODYCZNY

Przypadek 2

0

4

1

2

2

0

≤

−

γ

ω

2

0

2

4

1

2

1

ω

γ

γ

α

−

±

=

±

i

i

jest liczbą urojoną

t

a

t

a

e

A

e

A

x

2

1

2

1

−

−

+

=

gdzie a

1

= ia

+

oraz a

2

= ia

−

Rozwiązanie jest rzeczywiste i aperiodyczne.

typ (a) gdy v

0



-s

0

oraz

0

1

0

s

v

α

>

10

ROZWIĄZANIE OGÓLNE

I ROZWIĄZANIE SZCZEGÓLNE

Równanie niejednorodne:

m

F

x

x

x

/

2

0

=

+

+

ω

γ







Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego:

)

cos(

)

(

0

0

)

(

θ

ϕ

ω

+

+

=

t

x

t

x

s

Jeżeli do

x

(s)

dodamy funkcję będącą rozwiązaniem

równania jednorodnego:

0

2

0

=

+

+

x

x

x

ω

γ







czyli:

)

cos(

)

(

0

2

/

0

)

(

ϕ

ω

γ

γ

+

=

−

t

e

A

t

x

t

o

lub

t

a

t

a

o

e

A

e

A

t

x

2

1

2

1

)

(

)

(

−

−

+

=

nazywaną rozwiązaniem ogólnym równania
niejednorodnego, to suma tych rozwiązań też będzie
rozwiązaniem równania niejednorodnego.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

x

t

x

t

x

s

o

+

=