1
DRGANIA WYMUSZONE
Układ oscylacyjny na który działa siła wymuszająca.
)
(
2
2
t
F
kx
dt
x
d
m
+
−
=
m
t
F
x
dt
x
d
/
)
(
2
0
2
2
=
+
ω
- równanie niejednorodne
Podstawmy
)
cos(
)
(
0
t
F
t
F
ω
⋅
=
m
k
=
2
0
ω
)
cos(
)
sin(
)
cos(
2
t
C
a
t
C
v
t
C
x
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
=
)
cos(
)
cos(
)
cos(
0
2
0
2
t
F
t
C
m
t
C
m
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
+
⋅
⋅
−
=
⋅
−
)
(
2
2
0
0
ω
ω
−
=
m
F
C
•
Jeżeli
0
ω
ω
<<
to
0
>
C
•
Jeżeli
0
ω
ω
>>
to
0
<
C
•
przy dużych wartościach
2
0
2
ω
ω
−
amplituda maleje.
•
Jeżeli
0
ω
ω
≈
to
∞
→
C
- drgania rezonansowe
)
cos(
)
(
t
C
t
x
ω
⋅
=
2
DRGANIA WYMUSZONE z TŁUMIENIEM
F
kx
dt
dx
C
dt
x
d
m
=
+
+
2
2
m
F
x
dt
dx
dt
x
d
=
+
+
2
0
2
2
ω
γ
gdzie
m
C
=
γ
Dla harmonicznej siły wymuszającej:
)
cos(
)
(
0
t
F
t
F
ω
⋅
=
Rozwiązaniem równania jest:
)
cos(
)
(
0
θ
ω
+
⋅
=
t
x
t
x
(
)
[
]
2
1
2
2
2
2
2
0
0
0
/
ω
γ
ω
ω
+
−
=
m
F
x
2
2
0
tg
ω
ω
γω
θ
−
−
=
3
AMPLITUDA I FAZA DRGAŃ WYMUSZONYCH
(
)
[
]
2
1
2
2
2
2
2
0
0
0
/
ω
γ
ω
ω
+
−
=
m
F
x
2
2
0
tg
ω
ω
γω
θ
−
−
=
4
ENERGIA ZMAGAZYNOWANA
Ś
rednia energia drgań w stanie ustalonym jest stała,
równa sumie średniej energii kinetycznej i średniej
energii potencjalnej.
Wartość średnia zmagazynowanej energii
>
<
+
>
<
>=
<
2
2
0
2
2
1
2
1
x
m
v
m
E
m
ω
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
1
sin
2
1
cos
ω
ω
ω
ω
x
v
t
x
v
x
x
t
x
x
>=
<
−
=
>=
<
=
(
)
2
0
2
0
2
4
1
x
m
E
m
⋅
+
>=
<
ω
ω
5
MOC DOSTARCZANA
Ż
eby utrzymać stałą amplitudę drgań trzeba dostarczać
energii z zewnątrz. Energia dostarczana równa jest pracy
wykonywanej przez siłę zewnętrzną przeciwko sile oporu.
Moc jest równa pracy wykonanej w jednostce czasu.
Jednostką mocy jest 1 wat [1W=1 J/s]:
dW
F ds
P
F v
dt
dt
⋅
=
=
= ⋅
w przypadku ruchu jednowymiarowego, kiedy
F = F
x
dx
P
F
dt
=
W ruchu drgającym moc dostarczana jest przez siłę
dx
F
m
dt
γ
=
Średnia moc dostarczona:
2
2
dx
P
m
mv
dt
γ
γ
< >=< ⋅
>=< ⋅
>
2
0
2
2
1
x
m
P
ω
γ
⋅
⋅
>=
<
•
po włączeniu siły wymuszającej gromadzenie energii
•
w stanie ustalonym pokrycie strat cieplnych.
6
DRGANIA TŁUMIONE
0
2
0
=
+
+
x
x
x
ω
γ
rozwiązanie
t
i
e
A
x
α
~
~
=
Sprawdzenie:
0
)
(
2
0
2
=
+
+
x
x
i
x
i
ω
αγ
α
0
~
)
(
2
0
2
=
+
+
−
t
i
e
A
i
α
ω
αγ
α
0
2
0
2
=
−
−
ω
αγ
α
i
( równanie kwadratowe na
α
)
2
0
2
4
2
1
2
ω
γ
γ
α
+
−
±
=
i
2
2
0
4
1
2
1
γ
ω
γ
α
−
±
=
i
Możliwe są dwa przypadki:
0
4
1
2
2
0
>
−
γ
ω
lub
0
4
1
2
2
0
≤
−
γ
ω
7
DRGANIA TŁUMIONE
Przypadek 1
0
4
1
2
2
0
>
−
γ
ω
Dwa rozwiązania
=
=
−
−
−
t
i
t
t
i
t
e
e
A
x
e
e
A
x
γ
γ
ω
γ
ω
γ
2
1
2
2
2
1
1
1
~
~
~
~
ω
γ
ω
=
−
2
2
0
4
1
Ogólne rozwiązanie
)
ˆ
ˆ
(
~
2
1
2
/
t
i
t
i
e
A
e
A
e
x
γ
γ
ω
ω
γ
−
−
+
=
Rozwiązanie rzeczywiste
)
cos(
0
2
/
0
ϕ
ω
γ
γ
+
=
−
t
e
A
x
t
Otrzymaliśmy oscylacje o częstości
2
/
1
2
2
0
)
4
1
(
γ
ω
ω
γ
−
=
i amplitudzie
2
/
0
)
(
t
e
A
t
A
γ
−
=
A
0
i
ϕ
0
wyznacza się
z warunków początkowych
8
DRGANIA TŁUMIONE
)
cos(
0
2
/
0
ϕ
ω
γ
γ
+
=
−
t
e
A
x
t
T
T
t
A
t
A
γ
δ
)
2
/
1
(
)
(
)
(
ln
=
+
=
logartymiczny dekrement tłumienia.
9
RUCH APERIODYCZNY
Przypadek 2
0
4
1
2
2
0
≤
−
γ
ω
2
0
2
4
1
2
1
ω
γ
γ
α
−
±
=
±
i
i
jest liczbą urojoną
t
a
t
a
e
A
e
A
x
2
1
2
1
−
−
+
=
gdzie a
1
= ia
+
oraz a
2
= ia
−
Rozwiązanie jest rzeczywiste i aperiodyczne.
typ (a) gdy v
0
-s
0
oraz
0
1
0
s
v
α
>
10
ROZWIĄZANIE OGÓLNE
I ROZWIĄZANIE SZCZEGÓLNE
Równanie niejednorodne:
m
F
x
x
x
/
2
0
=
+
+
ω
γ
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego:
)
cos(
)
(
0
0
)
(
θ
ϕ
ω
+
+
=
t
x
t
x
s
Jeżeli do
x
(s)
dodamy funkcję będącą rozwiązaniem
równania jednorodnego:
0
2
0
=
+
+
x
x
x
ω
γ
czyli:
)
cos(
)
(
0
2
/
0
)
(
ϕ
ω
γ
γ
+
=
−
t
e
A
t
x
t
o
lub
t
a
t
a
o
e
A
e
A
t
x
2
1
2
1
)
(
)
(
−
−
+
=
nazywaną rozwiązaniem ogólnym równania
niejednorodnego, to suma tych rozwiązań też będzie
rozwiązaniem równania niejednorodnego.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
x
t
x
t
x
s
o
+
=