DRGANIA WYMUSZONE

Układ oscylacyjny na który działa siła wymuszająca.

2

d x

m

= − kx + F ( t)

2

dt

d 2 x

2

+ ω x = F ( t) / m dt 2

0

- równanie niejednorodne

2

k

ω0 =

Podstawmy F ( t ) = F ⋅ cos(ω t ) 0

m

x = C ⋅ cos(ω t) v = − Cω ⋅ sin(ω t) 2

a = − Cω ⋅ cos(ω t) 2

− mω C ⋅ cos( t

ω )

2

= − mω ⋅ C ⋅ cos( t

ω ) + F ⋅ cos( t

ω )

0

0

x( t) = C ⋅ cos(ω t) F 0

C =

m(

2

2

ω − ω )

0

• Jeżeli ω << ω

C >

0 to

0

• Jeżeli ω >>ω to C < 0

0

• przy dużych wartościach 2

2

ω − ω amplituda maleje.

0

• Jeżeli ω ≈ ω

C →

0 to

∞ - drgania rezonansowe

1

DRGANIA WYMUSZONE z TŁUMIENIEM

d 2 x

dx

m

+ C

+ kx = F

dt 2

dt

d 2 x

dx

2

F

+

γ + ω x

0

=

dt 2

dt

m

C

gdzie γ = m

Dla harmonicznej siły wymuszającej:

F ( t ) = F ⋅ cos(ω t) 0

Rozwiązaniem równania jest:

x( t ) = x ⋅ cos( ω t + θ ) 0

F /

0

x =

m

0

([ 2ω −ω +γ ω

0

)22 2 ]122

γω

tgθ = − 2

2

ω −ω

0

2

AMPLITUDA I FAZA DRGAŃ WYMUSZONYCH

F /

0

γω

x =

m

θ

0

([

tg = − 2

2

ω −ω

+ γ ω

2

ω −ω

0

0

)22 2 ]122

3

ENERGIA ZMAGAZYNOWANA

Średnia energia drgań w stanie ustalonym jest stała, równa sumie średniej energii kinetycznej i średniej energii potencjalnej.

Wartość średnia zmagazynowanej energii

< E

ω

m >= 1 m <

1

2

v > +

2

m

x

0 <

2 >

2

2

1

2

2

x = x cos ω t < x >=

x

0

0

2

1

2

2

2

v = − x ω sin ω t < v >=

x ω

0

0

2

1

< E >=

ω +ω ⋅

m

( 2 2

m

x

0 )

2

0

4

4

MOC DOSTARCZANA

Żeby utrzymać stałą amplitudę drgań trzeba dostarczać energii z zewnątrz. Energia dostarczana równa jest pracy wykonywanej przez siłę zewnętrzną przeciwko sile oporu.

Moc jest równa pracy wykonanej w jednostce czasu.

Jednostką mocy jest 1 wat [1W=1 J/s]:

dW

F ⋅ ds

P =

=

= F ⋅ v

dt

dt

w przypadku ruchu jednowymiarowego, kiedy F = Fx dx

P = F dt

W ruchu drgającym moc dostarczana jest przez siłę dx

F = mγ dt

Średnia moc dostarczona:

2

 dx 

2

< P >=< γ ⋅ m

 >=< γ ⋅ mv >

 dt 

1

2

2

< P >= γ ⋅ m ⋅ω x 0

2

• po włączeniu siły wymuszającej gromadzenie energii

• w stanie ustalonym pokrycie strat cieplnych.

5

DRGANIA TŁUMIONE

2

x

+ x

γ + ω x = 0

0

~

~

iα t

rozwiązanie x = A e

Sprawdzenie:

( iα ) 2

2

x + iαγ x + ω x = 0

0

2

~

(

2

−α + iαγ + ω ) iα t

Ae

= 0

0

2

2

α − α

i γ − ω = 0

0

( równanie kwadratowe na α)

γ 1

2

2

α = i ±

− γ + 4ω0

2

2

1

1

2

2

α = γ i ± ω − γ

0

2

4

Możliwe są dwa przypadki:

2

1

2

1 2

ω − γ > 0

2

ω − γ ≤

0

0

4

lub

0

4

6

DRGANIA TŁUMIONE

Przypadek 1

2

1 2

ω − γ > 0

0

4

Dwa rozwiązania



− 1

~

γ



ω

x

~

1 =

t

i

t

A e 2 e

γ



1

1



−

~

γ

1

t

−

2

2

i ω t

ω0 − γ =

 x~

ω

4

2

= A e 2 e

γ

2

Ogólne rozwiązanie

~

−γ / 2

ˆ iω t

γ

ˆ

− ω

x = e

(

i

t

A e

+ A e γ )

1

2

Rozwiązanie rzeczywiste

γ t / 2

x =

−

A e

cos(ωγ t + ϕ )

0

0

Otrzymaliśmy oscylacje o częstości

1

2

2

1 / 2

ω = (

γ

ω − γ )

0

4

i amplitudzie

−γ t / 2

A( t ) = A e

0

A0 i ϕ0 wyznacza się z warunków początkowych 7

DRGANIA TŁUMIONE

γ t / 2

x =

−

A e

cos(ωγ t + ϕ )

0

0

A t

δ

( )

= ln

= /

1

(

)

2 T

γ

A t

( + T)

logartymiczny dekrement tłumienia.

8

RUCH APERIODYCZNY

Przypadek 2

2

1 2

ω − γ ≤ 0

0

4

1

1

2

2

α ± = iγ ± i

γ − ω 0

2

4

jest liczbą urojoną

− a t

− a t

x = A e 1 + A e 2

1

2

gdzie a1 = ia+ oraz a2 = ia−

Rozwiązanie jest rzeczywiste i aperiodyczne.

>

typ (a) gdy v

v

α s

0  -s0 oraz

0

1

0

9

ROZWIĄZANIE OGÓLNE

I ROZWIĄZANIE SZCZEGÓLNE

Równanie niejednorodne:

x

+ γ x

2

+ ω x = F / m

0

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego: ( )

x s ( t ) = x cos( ω t + ϕ + θ ) 0

0

Jeżeli do x(s) dodamy funkcję będącą rozwiązaniem równania jednorodnego:

2

x

+ γ x + ω x = 0

0

czyli:

( o )

γ t / 2

x

t =

−

A e

ω γ t + ϕ

( )

cos(

)

0

0

lub

( o )

− a t

− a t

x

( t ) = A e 1 + A e 2

1

2

nazywaną rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego, to suma tych rozwiązań też będzie rozwiązaniem równania niejednorodnego.

x( t)

( o)

= x ( t)

( s)

+ x ( t)

10