X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Władysław MIRONOWICZ

1

Marek ZOMBROŃ

2

LOSOWE DRGANIA WYMUSZONE

FUNDAMENTU SKRZYNIOWEGO

1. Wstę p

Fundamenty pod maszyny w postaci żelbetowej skrzyni, zgodnie z zaleceniami
literaturowymi [1], traktowane są z reguły jako nieodkształcalna bryła. Niektóre badania
zrealizowanych obiektów wskazują jednak na wyraź ne odstę pstwa od takiego modelu,
prowadzą ce do zwię kszonych drgań oraz uszkodzeń fundamentu [2].
W dą żeniu do wyjaśnienia tego problemu, w [3] rozpatrzono losowe zagadnienie własne
takiego fundamentu – przy założeniu, że składa się on z odkształcalnych ścian i płyty górnej
oraz nieodkształcalnej płyty dolnej zagłę bionej w podłożu gruntowym. W kontynuacji
tamtych rozważań , w niniejszej pracy sformułowano i przeanalizowano problem drgań
fundamentu wymuszonych okresowym, losowym sygnałem o różnych charakterystykach.
Dla jasności i skrócenia dociekań przyję to, że parametry opisują ce sztywność i masę układu
są deterministyczne. Uwzglę dniono natomiast wpływ losowego charakteru tłumienia w pod-
łożu gruntowym.

2. Sformułowanie problemu

Rozpatrywany jest model fundamentu pod maszyny składają cy się z tzw. płyty dolnej – trak-
towanej jako nieodkształcalna bryła o kształcie prostopadłościanu i poziomej podstawie oraz
nadbudowie w postaci skrzyni zbudowanej z pionowych, wzajemnie prostopadłych ścian
(równoległych do boków płyty dolnej) i poziomej, prostoką tnej płyty górnej. Zakłada się , że
ściany i płyta górna mają stałą w swoim obszarze grubość, a do opisu ich modelu stosuje się
teorię płyt Mindlina. Przyję to zgodnie z [4] bezinercyjny model podłoża scharakteryzowany
jak w [3] macierzą sztywności K

b

opisaną w bazie współrzę dnych uogólnionych q

b

określają cych ruch podstawy fundamentu

K

b

= diag (K

v

, K

xz

, K

yz

, K

t

).

(1)

1

Dr hab. inż., prof. PWr, Wydział Budownictwa Lą dowego i Wodnego Politechniki

Wrocławskiej

2

Mgr inż., Wydział Budownictwa Lą dowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

134

K

v

, K

xz

, K

yz

, K

t

są to sztywności podłoża odpowiadają ce ruchowi pionowemu płyty dolnej,

ruchom wahadłowym w płaszczyznach xz, yz oraz ruchowi skrę tnemu.
Stan przemieszczeń w obszarze nadbudowy fundamentu (ściany, płyta górna) sformułowano
jak w [3] w konwencji MES. Oznaczono: u,v – przemieszczenia w płaszczyź nie elementu
(kierunki x,y), w – przemieszczenie z płaszczyzny elementu (kierunek z),

g

x

,

g

y

– ką ty

odkształcenia postaciowego,

k

2

– współczynnik odkształcenia postaciowego, E – moduł

Younga,

n

- współczynnik Piossona, h – grubość elementu,

Y

x

=

g

x

– w,

,x

,

Y

y

=

g

y

– w,

,y

. Stan

przemieszczeń w elemencie opisano relacjami

w = q

w

T

(t)Q(x, y),

Y

x

= q

x

T

(t)P

x

(x, y),

Y

y

= q

y

T

(t)P

y

(x, y),

u = q

u

T

(t)U(x, y),

v = q

v

T

(t)V(x, y).

(2)

Posługują c się analizą energii akumulowanej w elemencie skoń czonym otrzymano macierz
sztywności elementu w bazie uogólnionych g

e

=[q

e

T

,q

euv

T

]

T

w postaci

K

e

= diag (K

ew

, K

euv

),

(3)

gdzie:

q

e

T

= [q

w

T

, q

x

T

, q

y

T

]

e

,

q

euv

T

= [q

u

T

, q

v

T

]

e

,

K

ew

= E/(24(1-

n

2

))

òò

w

K dxdy, K

euv

= Eh/(1-

n

2

)

òò

uv

K

dxdy,

w

K = (1+

n

)h

3

S

1

+ 12

k

2

(1-

n

)hS

2

+ (1-

n

)h

3

S

3

,

uv

K

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ë

é

-

+

-

+

-

+

-

+

T

x

,

x

,

T

y

,

y

,

T

y

,

x

,

T

x

,

y

,

T

x

,

y

,

T

y

,

x

,

T

y

,

y

,

T

x

,

,x

)

ν

1

(

2

/

1

)

ν

1

(

2

/

1

ν

)

ν

1

(

2

/

1

ν

)

ν

1

(

2

/

1

V

V

V

V

U

V

U

V

V

U

U

V

U

U

U

U

.

Macierze S

1

, S

2

, S

3

podano w [3]. Przykładowo

S

1

=

ú

û

ù

ê

ë

é

P

0

0

T

0

, gdzie 0 =

ú

û

ù

ê

ë

é

0

0

, P =

ú

ú

û

ù

ê

ê

ë

é

T

y,y

y,y

T

x,x

y,y

T

y,y

x,x

T

x,x

x,x

P

P

P

P

P

P

P

P

.

Analogicznie otrzymano macierz bezwładności B

e

elementu skoń czonego w bazie g

e

w

postaci

B

e

= diag(B

ew

, B

euv

),

(4)

gdzie:

B

ew

= (

r

h/12) diag

[

12

òò

T

QQ dxdy, h

2

òò

T

x

x

P

P

dxdy, h

2

òò

T

y

y

P

P

dxdy

]

,

euv

B

=

r

h diag

[

òò

T

UU dxdy,

òò

T

VV dxdy

]

.

135

Macierze sztywności K i bezwładności B całego układu będą cego modelem fundamentu
otrzymuje się w bazie współrzędnych uogólnionych g = [q, q

b

]

T

, gdzie q = [g

e

] jest wektorem

współrzędnych przypisanych elementom skoń czonym tworzą cych nadbudowę fundamentu.
Macierz te formalnie zapisujemy w postaci

b

b

T
b

e

e

e

T
e

A

K

A

A

K

A

K

+

å

=

,

b

b

T
b

e

e

e

T
e

A

B

A

A

B

A

B

+

å

=

,

(5)

gdzie A

e

, A

b

są macierzami transformacji wektorów g

e

, q

b

na wektor g.

Wymuszenie drgań przyję to w postaci Ff(t), gdzie F – wektor lokalizują cy obcią żenie, zaś
f(t) – funkcja przedstawiają ca serię obcią żeń krótkotrwałych – jak na rysunku 1. Wyraża ją
formuła

Rys. 1

f(t) =

å

=

n

1

j

A

j

S

j

(1(t-t

j

)-1(t-t

j

-T)) =

å

=

n

1

j

A

j

S

j

(t, t

j

, T)

(6)

gdzie: 1(t) – funkcja Heaviside’a, t

j

= j

×D

,

D

, T – wartości stałe. A

j

jest wielkością

deterministyczną lub zmienną losową (najczę ściej wartością maksymalną , tzw. „amplitudą ”),
natomiast S

j

jest funkcją deterministyczną lub losową . Rozważano przypadki:

a) S

j

= 1,

b) S

j

= (t-t

j

)/T, c) S

j

= (T+t

j

-t)/T,

d) S

j

= e

)

t

t

(

c

j

-

-

e) S

j

= sin(

P

(t-t

j

)/T),

f) S

j

= Sˆ (t)+ S

~

(t).

(7)

Są to: a) – sygnał stały, b) i c) sygnały rosną cy i maleją cy liniowo, d) – sygnał maleją cy
wykładniczo, e) – sygnał sinusoidalny, f) – sygnał stochastyczny (symbole (

Ù

,

~

) oznaczają

odpowiednio wartość oczekiwaną i losową fluktuację ).
Macierz tłumienia C przyję to zgodnie z sugestiami literaturowymi i realiami praktycznymi w
postaci

b

b

T
b

2

e

e

e

T
e

1

A

K

A

A

K

A

C

b

+

å

b

=

,

(8)

gdzie

b

1

,

b

2

– parametry tłumienia Voigta-Kelvina fundamentu i podłoża gruntowego.

Równanie drgań układu, po zastosowaniu transformacji własnej

g = W·y,

(9)

136

(W – macierz własna) ma postać

f(t)

m

ω

}Q

{

}y

{

y

C

y

-1

2

y

=

+

+

&

&

&

,

(10)

gdzie: {m} = W

T

CW, {k} = W

T

KW, {

w

2

} = {km

-1

}, Q = W

T

F, C

y

= {m

-1

}W

T

CW.

Diagonalizacja macierzy C

y

w celu rozseparowania równań (10) wymaga pominię cia

wystę pują cych w niej elementów sprzę żenia. Błą d wynikają cy z takiego pominię cia bę dzie
jednak mały ze wzglę du na duże zróżnicowanie sztywności podłoża i fundamentu (układ
„rozstrojony” – [5]).

3. Rozwiązanie problemu

Rozwią zanie równania (10) ma w zakresie wartości oczekiwanych y postać

ò

å

=

+

=

T

t

t

r

1

j

j

j

{

Aˆ

)

t

(

ˆ

j

y

h

j

(t-

t

)}Q

j

Sˆ (

t

, t

j

, T)d

t

+s

ò

t

t

v

{

Aˆ

v

h

v

(t-

t

)}Q

v

Sˆ (

t

, t

v

, T)d

t

,

(11)

gdzie: h

j

– impulsowa funkcja przejścia,

s(t) = s = {1,

gdy v

D

£

t

<

v

D

+T;

0,

gdy

D

v +T

£

t

<

(v+1)

D

},

r = {v-1,

gdy s = 1;

v,

gdy s = 0}.

Macierz kowariancji cov y(t

1

, t

2

), w ogólnej formie ujmują cej po dwa możliwe przypadki

s(t

1

)=s

1

oraz s(t

2

) = s

2

, przedstawiono w [6]. W rozważanym tutaj zagadnieniu, gdy

przykładowo s

1

=0, s

2

= 0, to

cov y(t

1

, t

2

) =

]

A

~

A

~

[

E

j

v

0

j

i

v

0

i

2

1

å

å

=

=

ò

+

T

t

t

i

i

ò

+

T

t

t

j

j

LE[

i

S

~

(

t

1

, t

i

, T)

j

S

~

(

t

2

, t

j

, T)] d

t

1

d

t

2

,

(12)

gdzie

L = {h(t

1

-

t

1

)}QQ

T

{h(t

2

-

t

2

)}.

Rozwią zanie w bazie współrzę dnych uogólnionych g otrzymujemy wykorzystują c relacje

y

W

g

ˆ

ˆ

=

, cov g(t

1

, t

2

) = W cov y(t

1

, t

2

)W

T

.

(13)

Gdy probabilistyczna charakterystyka problemu jest opisana przez zmienne losowe, to
efektywne rozwią zanie może być uzyskane również metodą zbioru realizacji. Niech losowe
cechy obcią żenia opisują parametry A

j

=A,

D

, T, zmienną losową niech bę dzie także parametr

tłumienia podłoża

b

2

. Jeżeli rozwią zanie rozpatrywanego problemu przedstawia relacja (11),

w której pominię to symbol (

Ù

), to wektory wartości oczekiwanych y(t) oraz wariancji var

y(t,t) przedstawiają formuły

)

t

(

ˆy

=

å

å

å

å

n

m

l

k

y(A

k

,

D

l

, T

m

,

b

2n

) P(A

k

,

D

l

, T

m

,

b

2n

),

(14)

137

var y(t,t) =

å

å

å

å

n

m

l

k

( y(A

k

,

D

l

, T

m

,

b

2n

)- yˆ )

2

P(A

k

,

D

l

, T

m

,

b

2n

),

(15)

gdzie P(A

k

,

D

l

, T

m

,

b

2n

) jest to prawdopodobień stwo zdarzenia.

Przejście do bazy współrzę dnych uogólnionych g przedstawiają relacje (13). Dowolnie
określona odpowiedź z(t) układu np. przemieszczenie lub naprę żenie w wybranym punkcie
fundamentu określa relacja

z(t) = a

T

Wy(t),

(16)

a wię c również

zˆ (t) = a

T

W yˆ (t),

cov z(t

1

, t

2

) = a

T

W cov y(t

1

, t

2

)W

T

a,

(17)

gdzie a jest wektorem transformacji.

4. Przykład numeryczny

Przedmiotem analizy numerycznej jest fundament skrzyniowy, którego płyta dolna ma
nastę pują ce wymiary: 8·7,7·2 m. Nadbudowę fundamentu stanowią płyta górna o
wymiarach odpowiednie 7,4·7,5·0,7 m oraz cztery ściany o grubości 0,8 m i wysokości
3,9 m, tworzą ce komorę zamknię tą . Pozostałe dane są nastę pują ce: r

o

= 4,37 m (przyję to

założenie o równości pól prostoką tnej podstawy fundamentu i zastę pczego pola
kołowego), głę bokość zagłę bienia fundamentu g = 2 m. Konstrukcję obcią żono serią
impulsów prostoką tnych o czę stości równej pierwszej czę stości drgań własnych
fundamentu. Siła wymuszają ca jest przyłożona w środku górnej powierzchni
fundamentu, równolegle do osi x. Rozwią zanie zadania losowego dokonano przy
założeniu rozkładu normalnego zmiennych losowych: parametru tłumienia podłoża

b

2

oraz amplitudy obcią żenia A, przechodzą c do rozkładu N(0,1). Dla zmiennej

b

2

przyję to

s

b

2

= 0,01 natomiast dla A –

s

A

= 666.

b

1

jest stałe i wynosi 0,04.

Rys. 2. Rozkład naprę żeń w elementach konstrukcji

138

Rys. 3. Wykres zależności odchylenia standardowego przemieszczenia

od amplitudy A siły

Rys. 4. Wykres zależności odchylenia standardowego przemieszczenia

od liczby tłumienia

a

1,55E-06

1,60E-06

1,65E-06

1,70E-06

1,75E-06

1,80E-06

1,85E-06

3,

80

E+

04

3,

84

E+

04

3,

88

E+

04

3,

92

E+

04

3,

96

E+

04

4,

00

E+

04

4,

04

E+

04

4,

08

E+

04

4,

12

E+

04

4,

16

E+

04

4,

20

E+

04

amplituda A si

ły

o

d

c

h

y

le

n

ie

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

p

rz

e

m

ie

s

z

c

z

e

n

ia

0,E+00

1,E-07

2,E-07

3,E-07

4,E-07

5,E-07

6,E-07

7,E-07

0,080

0,084

0,088

0,092

0,096

0,100

0,104

0,108

0,112

0,116

0,120

liczba t

łumienia alfa

o

d

c

h

y

le

n

ie

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

p

rz

e

m

ie

s

z

c

z

e

n

ia

139

Rys. 5. Wykres zależności odchylenia standardowego naprę żeń

od amplitudy A siły

Rys. 6. Wykres zależności odchylenia standardowego naprę żeń

od liczby tłumienia

a

4,80E+02

4,90E+02

5,00E+02

5,10E+02

5,20E+02

5,30E+02

5,40E+02

5,50E+02

5,60E+02

5,70E+02

5,80E+02

3,

80

E

+0

4

3,

84

E

+0

4

3,

88

E

+0

4

3,

92

E

+0

4

3,

96

E

+0

4

4,

00

E

+0

4

4,

04

E

+0

4

4,

08

E

+0

4

4,

12

E

+0

4

4,

16

E

+0

4

4,

20

E

+0

4

amplituda A si

ły

o

d

c

h

y

le

n

ie

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

n

a

p

rę

że

ń

0,00E+00

5,00E+01

1,00E+02

1,50E+02

2,00E+02

2,50E+02

3,00E+02

0,080

0,084

0,088

0,092

0,096

0,100

0,104

0,108

0,112

0,116

0,120

liczba t

łumienia alfa

o

d

c

h

y

le

n

ie

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

n

a

p

rę

że

ń

140

Rys. 2 pokazuje wytężenie konstrukcji w poszczególnych elementach fundamentu. Uwagę

zwraca ściana równoległa do płaszczyzny xz, na której naprężenia wypadkowe osią gają wartości
największe. Na rysunkach od 3 do 6 przedstawiono relacje wartości oczekiwanych oraz
odchylenia standardowego przemieszczeń (punktu przyłożenia siły wzdłuż osi x) i naprężeń
(maksymalnych, jakie występują w konstrukcji) w zależności od liczby tłumienia

a

oraz

amplitudy A siły. Widzimy, że powyższe relacje, gdy oś pozioma jest osią liczby tłumienia, nie są
liniowe, a zmienność przedstawionych wartości jest znaczna.

Podsumowanie

Sformułowano i rozwią zano problem drgań wymuszonych fundamentu skrzyniowego, który z
reguły jest traktowany jako blokowy. Uwzględniono odkształcalność nadbudowy, a założono,
że płyta dolna jest bryłą sztywną . Zgodnie z sugestiami praktyki inżynierskiej przyjęto, że
wybrane parametry są losowe i sformułowano rozwią zanie w zakresie teorii korelacyjnej.
Przeprowadzono wybrane analizy numeryczne i zamieszczono ich rezultaty. Wyniki te traktuje
się jako wstępne, testują ce rozwią zanie analityczne, a przewiduje się analizę numeryczną w
szerokim zakresie. Uzupełniają ce wyniki zostaną przedstawione na konferencji.

Literatura

[1] LIPIŃ SKI J., Fundamenty pod maszyny. Warszawa, Arkady, 1980.
[2] CHROBOK R. MIRONOWICZ W., W sprawie adekwatności modeli dynamicznych

fundamentów pod maszyny. Inż . i Bud. 1981, 5, s. 189-191.

[3] MIRONOWICZ W., ZOMBROŃ M., Losowe drgania własne fundamentu skrzynio-

wego, XLVII Konf. KILW PAN i KN PZITB, Krynica 2001, t.2, s. 95-102.

[4] WOLF P. G., Foundation vibration analysis using simple physical models. Prentice Hall, 1994.
[5] Kusainov A. A., Clough R. W., Alternatives to standard mode superposition for analysis

of non-classically damped systems, Coll. of Engng. Univ. of California at Berkeley, rep.
UCB/EERC-88/09.

[6] MIRONOWICZ W., Problemy losowych drgań płytowych konstrukcji wsporczych pod

maszyny, Oficyna Wyd. Pol. Wr., s. monografie, 18, 1998.

RANDOM FORCED VIBRATION OF THE BOX FOUNDATION

Summary

Forced vibrations problem of the machine foundation, constructed with the lower plate
having large stiffness and the superstructure in the form of the more slender box is
considered. In the dynamic model of walls and upper plate of the superstructure bending and
slide compliances are taken into account. The excitation has the form of the series of short
duration shocks of random character. The solution is formulated in the correlation theory
sphere. The selected results of numerical analysis are given.