11/ 1

11. DRGANIA WYMUSZONE

(4 strony)

Drgania wymuszone powstają w układzie pod wpływem zewnętrznego źródła energii o
zmieniającym się w czasie natężeniu np. drganie membrany głośnika pod wpływem
zmiennego pola elektromagnetycznego, drgania obiektu wywołane ruchem podłoża, drgania
w obwodzie elektrycznym wywołane zmiennym napięciem, drgania ładunków w atomach i
cząsteczkach pod wpływem zmiennego pola elektrycznego fali świetlnej.
Równanie ruchu oscylatora z siłą wymuszającą

(*)

)

(

2

2

t

F

kx

dt

x

d

m

+

−

=

- jest równaniem niejednorodnym

Funkcja

)

(t

F

może być różnej postaci. Ponieważ dowolną funkcję okresową można

przedstawić w postaci szeregu Fouriera a funkcję nieokresową w postaci całki Fouriera
przeanalizujmy przypadek

)

cos(

)

(

0

t

F

t

F

ω

⋅

=

Sprawdźmy czy

)

cos(

t

C

x

ω

⋅

=

jest rozwiązaniem równania ruchu (*), czyli czy układ

porusza się w zgodnym rytmie z siłą wymuszającą:

)

cos(

)

sin(

)

cos(

2

t

C

a

t

C

v

t

C

x

ω

ω

ω

ω

ω

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

=

podstawiając to do równania (*) otrzymujemy:

)

cos(

)

cos(

)

cos(

0

2

0

2

t

F

t

C

m

t

C

m

ω

ω

ω

ω

ω

⋅

+

⋅

⋅

−

=

⋅

−

gdzie

m

k /

2

0

=

ω

jest częstością kątową drgań swobodnych. Po podzieleniu przez cos

ω

t

otrzymujemy warunek na C.

)

(

2

2

0

0

ω

ω

−

=

m

F

C

Funkcja

)

cos( t

C

x

ω

⋅

=

jest więc rozwiązaniem równania tylko dla wyznaczonej wartości C.

Masa m drga z częstością siły wymuszającej, a amplituda tych drgań zależy od

0

F

,

ω

i

0

ω

:

a)

Jeżeli

0

ω

ω

<

to

0

>

C

, przesunięcie jest tak samo skierowane jak siła.

b)

Jeżeli

0

ω

ω

>

to

0

<

C

, przesunięcie jest odwrotnie skierowane niż siła - przeciwna faza

Ponadto przy dużych wartościach

2

0

2

ω

ω

−

amplituda drgań maleje.

c)

Jeżeli

0

ω

ω

≈

to

∞

→

C

. Jeżeli częstość siły dobierzemy tak, aby była zgodna z

częstością drgań własnych to otrzymujemy bardzo duże amplitudy. Oczywiście nie można
osiągnąć

∞

→

C

ponieważ w rzeczywistym świecie istnieją siły oporu, których dotąd nie

uwzględniliśmy.

Drgania wymuszone z tłumieniem
Dodajmy teraz do równań siłę tarcia. Istnieje wiele sytuacji (siła lepkości w płynach, spadek
napięcia na oporze U=IR), gdy siła tarcia jest proporcjonalna do szybkości.

Równanie ruchu z siłą tłumiącą

dt

dx

F

r

β

−

=

jest postaci

)

(

2

2

t

F

dt

dx

kx

dt

x

d

m

+

−

−

=

β

;

Sprowadźmy to równanie do wygodniejszej postaci

11/ 2

m

F

x

dt

dx

dt

x

d

=

+

+

2

0

2

2

ω

γ

gdzie

m

/

β

γ

=

. Podstawiając siłę

)

cos(

0

0

ϕ

ω

+

=

t

F

F

otrzymuje się rozwiązanie w postaci

drgań o tej samej częstości co siła wymuszająca. Wychylenie ciała z położenia równowagi
opisywane jest przez funkcję

)

cos(

0

0

ϕ

θ

ω

+

+

=

t

x

x

o

amplitudzie

(

)

[

]

2

1

2

2

2

2

2

0

0

0

/

ω

γ

ω

ω

+

−

=

m

F

x

i przesunięciu fazowym

θ

danym równaniem

2

2

0

tg

ω

ω

γω

θ

−

−

=

Kąt

θ

ma wartość ujemną dla wszystkich

ω

, co odpowiada wychyleniu x opóźnionemu w

fazie w stosunku do siły

F

.

dla

β

= 0 amplituda x

0

= C a różnica faz ,

θ,

jest

równa 0 lub

−π

ENERGIA

Sumę energii kinetycznej i potencjalnej oscylatora nazwa się energią zmagazynowaną. Jej
wartość średnia w stanie ustalonym, kiedy amplituda się nie zmienia, jest stała.

>

<

+

>

<

>=

<

2

2

0

2

2

1

2

1

x

m

v

m

E

m

ω

podstawiając

2

2

0

2

0

2

0

2

0

2

1

,

sin

2

1

,

cos

ω

ω

ω

ω

x

v

t

x

v

x

x

t

x

x

>=

<

−

=

>=

<

=

θ

11/ 3

Otrzymujemy

(

)

2

0

2

0

2

4

1

x

m

E

m

⋅

+

>=

<

ω

ω

Na początku, po włączeniu siły

F

zachodzi gromadzenie energii i związany z tym wzrost

amplitudy drgań a następnie w stanie ustalonym układ pobiera energię tylko na pokrycie
występujących strat cieplnych. Siła wykonuje dużą pracę wprowadzając oscylator w ruch.
Aby go utrzymać w ruchu musi jedynie pokonywać tarcie. Jeżeli tarcie jest małe oscylator
może uzyskiwać bardzo duże energie.

Otrzymane rozwiązanie

)

cos(

0

0

ϕ

θ

ω

+

+

=

t

x

x

opisuje drgania w stanie ustalonym.

DRGANIA TŁUMIONE

Po wyłączeniu siły wymuszającej straty energii, które do tej pory były uzupełniane przez
pracę wykonywaną przez siłę wymuszającą F spowodują malenie energii zmagazynowanej.
Równanie będzie teraz :

0

2

0

=

+

+

x

x

x

ω

γ

•

W przypadku, gdy

ω

0

> γ/2

rozwiązanie jest postaci

)

cos(

0

2

/

0

ϕ

ω

γ

γ

+

=

−

t

e

A

x

t

i opisuje oscylacje o częstości

2

2

0

4

1

γ

ω

ω

γ

−

=

,

malejącej z czasem amplitudzie

2

/

)

(

t

o

e

A

t

A

γ

−

=

i przesunięciu fazowym

ϕ

0.

Wartości A

0

i

ϕ

0

można wyznaczyć z wartości początkowych wychylenia z położenia

równowagi x

0

= x(0) oraz prędkości v

0

= v(0)

drgania tłumione

Wielkość

T

T

t

A

t

A

γ

δ

)

2

/

1

(

)

(

)

(

ln

=

+

=

nazywamy logartymicznym

dekrementem tłumienia.

11/ 4

•

W przypadku gdy

ω

0

< γ/2

rozwiązanie jest sumą dwóch funkcji wykładniczych

t

a

t

a

e

A

e

A

x

2

1

2

1

−

−

+

=

gdzie

2

0

2

1

4

1

2

1

ω

γ

γ

α

−

−

−

=

oraz

2

0

2

2

4

1

2

1

ω

γ

γ

α

−

+

−

=

Ruch ciała w tym przypadku nie jest okresowy, mówimy, że jest to ruch aperiodyczny

Rozwiązanie typu (a)
występuje gdy v

0

jest

przeciwnie skierowane
do x

0

oraz

0

1

0

x

v

α

>