Funkcje kosztów

1. Minimalizacja kosztów
2. Elastyczność substytucji
3. Funkcje kosztów w długim okresie (LR)
4. Funkcje kosztów w długim okresie (LR) i korzyści skali
5. Koszty w krótkim okresie (SR) przy jednym zmiennym czynniku
6. Zależność między kosztami w długim okresie (LR) i krótkim okresie

(SR)

Minimalizacja kosztów

Minimalizacja kosztów

Funkcja kosztów:

najniższe ekonomiczne

koszty do produkcji
każdego możliwego
poziomu produktu.

Funkcję produkcji reprezentują

izokwanty wypukłe
względem początku układu
współrzędnych.

(Płace i

renty są parametrami.)

Kombinacja czynników prowadząca do minimalizacji

kosztów (K*, L*) osiągana jest w punkcie styczności
izokwanty z linią izokosztów, TC*.

Minimalizacja kosztów

Warunek styczności można

interpretować:

nachylenie izokwanty =

dK/dL = - w/r

= nachylenie linii izokosztów

MRTS = - (dK/dL) = w/r =

MP

L

/MP

K

.

Równanie minimalizacji kosztów oznacza, że firma dostosowuje

kombinację zatrudnionych czynników aż technicznie
wyznaczona MRTS zrówna się ze stosunkiem cen
wyznaczonym przez rynek.

Minimalizacja kosztów

Elastyczność substytucji

Elastyczność substytucji

W długim okresie firma może dostosowywać

kombinację zatrudnienia czynników w odpowiedzi na
zmiany stosunku cen rynkowych.

Zakres tych dostosowań zależy od techniki produkcji

zawartej w izokwantach.

Miarą możliwości dostosowań jest

elastyczność substytucji

wzdłuż izokwanty.

Elastyczność substytucji

Elastyczność substytucji

pokazuje reakcje minimalizującego koszty stosunku

kapitału i pracy na zmiany stosunku cen tych
czynników w LR

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

L

K

r

w

r

w

d

L

K

d

L

K

r

w

r

w

L

K

r

w

r

w

L

K

L

K

cena

placa

stosunku

praca

kapital

stosunku

KL

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

_

_

_

%

_

_

_

%

=

∆

∆

=

∆

∆

=

∆

∆

=

σ

Elastyczność substytucji

Graniczne przypadki elastyczności substytucji

Graniczne przypadki elastyczności substytucji

Funkcje kosztów w

długim okresie (LR)

Funkcje kosztów w długim okresie

Ś

cieżka rozwoju w długim okresie

z punktów styczności izokwant i linii izokosztów:

Z minimalizacji kosztów
wiemy, że dla funkcji:
x = K

1/2

L

1/2

otrzymujemy:

a jest to

ś

cieżka rozwoju

firmy w długim okresie.

(

)

r

w

L

K

K

,

*,

*

* =

Ś

cieżka rozwoju w długim okresie

*

*

L

r

w

K =

Funkcje kosztów w długim okresie

Wyprowadzenie funkcji kosztów całkowitych firmy w LR

Funkcje kosztów w długim okresie

Koszty przeciętne i krańcowe w LR

Mając funkcje kosztów całkowitych w
LR możemy wyprowadzić koszty

przeciętne i

krańcowe w LR:

•

TC* = LRTC

•

LRAC = LRTC/x

•

LRMC = d(LRTC)/dx

Funkcje kosztów w LR

i korzyści skali

Funkcje kosztów w LR i korzyści skali

Funkcje kosztów przeciętnych o kształcie U

i korzyści skali

Przyjęcie funkcji LRAC o kształcie U implikuje

założenie, że funkcję produkcji charakteryzują

najpierw rosnące, a potem malejące korzyści skali.

Wynikają z tego dwa możliwe kształty dla krzywych

LRAC:

- LRAC jako funkcja produktu mogą najpierw maleć

przy wzroście produkcji, potem być stałe, gdy zakład

jest „powielany” i w końcu rosnąć.

- LRAC krzywa może maleć do punktu minimum i

potem rosnąć.

Funkcje kosztów w LR i korzyści skali

Funkcja LRTC najpierw

jest wklęsła, a potem

wypukła

odzwierciedlając

rosnące korzyści skali,

po których następują

malejące korzyści skali.

LRAC maleje przy

wzroście produkcji,

osiąga minimum, , w

punkcie styczności

promienia, a potem

rośnie.

x

,

Funkcje kosztów w LR przy funkcji LRAC

w kształcie U

Koszty w SR przy jednym

zmiennym czynniku

Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku

Koszty całkowite w krótkim okresie
SRTC można wyprowadzić ze ścieżki rozwoju firmy w

SR:

SRTC są rozkładane na koszty stałe – FC i koszty

zmienne – VC:

SRVC = wL

FC = r

SRTC = wL + r

(

)

(

)

r

w

K

L

x

SRTC

SRTC

,

;

;

=

K

K

Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku

Wyprowadzenie funkcji SRTC firmy

Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku

Aby wyprowadzić SRVC skorzystamy z funkcji produktu
całkowitego pracy: . Odwrotność jej:

(

)

K

L

x

x

,

=

.

(

)

K

x

L

L

x

;

1

=

=

−

Wyprowadzenie funkcji dla firmy

(

)

K

x

L ;

.

Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku

Zależność między

i

w

.

SRVC =0 dla L=0, a potem

równa się:

w

razy

(

)

K

x

L ;

(

)

K

x

L ;

.

(

)

K

x

L ;

Wyprowadzenie funkcji SRVC

Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku

Aby otrzymać SRTC

dodajemy SRVC i FC

Wyprowadzenie funkcji SRTC z funkcji

SRVC i FC

Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku

SRAC i SRMC

• SRAVC = SRVC/x = wL(x)/x
• AFC = FC/x = r

/x

• SRATC = SRTC/x = wL(x)/x + r

/x

• SRMVC =

• SRMC =

K

/

K

/

)

(

x

L

dx

d

w

SRVC

dx

d

=

0

)

(

+

=

x

L

dx

d

w

SRTC

dx

d

Przykład: Koszty przeciętne cementowni –

rentowność skali (economies of scale)

Kształt krzywych AC w przemyśle kanadyjskim

Rosnące korzyści skali (increasing returns to scale): podwojenie
zatrudnienia wszystkich czynników prowadzi do zwiększenia produkcji
więcej niż dwukrotnie.

Rentowność skali (economies of scale): podwojenie produkcji
zwiększa koszty, ale mniej niż dwukrotnie.

Rentowność skali

(economies of scale) mierzone

są za pomocą

kosztowej elastyczności produkcji

:

E

C

= (∆

∆

∆

∆

C/C)/ (∆

∆

∆

∆

q/q).

Poniższy zapis pokazuje zależność między

E

C

i kosztami

mierzonymi tradycyjnie:

E

C

= (∆

∆

∆

∆

C/∆

∆

∆

∆

q)/ (C/q) =

MC/AC

.

Jeżeli

E

C

= 1

, to stałe korzyści skali (returns to scale);

E

C

<1

: rentowność skali (economies of scale): koszty rosną

mniej niż proporcjonalnie niż produkcja: MC<AC (obydwa
maleją)

E

C

>1

: brak rentowności skali (diseconomies of scale):

MC>AR: koszty rosną bardziej proporcjonalnie niż
produkcja.

Learning by doing

(a) Wraz ze

zwiększaniem produkcji samolotu C-141
malał przeciętny koszt wytworzenia jednego
samolotu. Wzdłuż osi poziomej mierzona jest
całkowita liczba wyprodukowanych
samolotów. (b) W krótkim okresie dodatkowa
produkcja zmniejsza koszty przeciętne dzięki
rentowności skali, gdyż q

1

< q

2

< q

3

. A leży

wyżej niż B, a B powyżej C. W długim okresie
dodatkowa produkcja obniża koszty
przeciętne dzięki learning by doing. Aby
wytworzyć q

2

w tym okresie trzeba ponieść

koszt B na AC

1

, ale produkcja B w następnym

okresie kosztuje b na AC

2

. Jeśli firma

produkuje q

3

zamiast q

2

w tym okresie, to jej

koszty przeciętne w następnym okresie
wyniosą AC

3

zamiast AC

2

dzięki

dodatkowemu learning by doing. Ta
dodatkowa produkcja w tym okresie obniża
koszty firmy dwoma sposobami: Obniża
koszty przeciętne w tym okresie dzięki
korzyściom skali i obniża koszty przeciętne
takiej wielkości produkcji w następnym
okresie dzięki learning by doing.

Przykład:

Learning by doing

a

rentowność skali

(economics of scale)

Rentowność (korzyści) zakresu

(

economies of scope

)

Łączna produkcja dwóch dóbr pojedynczej firmy jest

większa od produkcji wytworzonej przez dwie
oddzielne firmy, z których każda produkuje
pojedynczy produkt.

Miernik korzyści zakresu

:

SC= [C(q

1

) + C(q

2

) – C(q

1

, q

2

)] / C(q

1

, q

2

)]

Application: Dead End

Finally, dead people are pulling their weight – by providing „fuel”

for heating thousands of homes in Sweden. The ovens of two

high-tech crematoriums send power to local energy companies.

The firms benefit from

economies of scope

because the costs of

cremating and of producing energy are lower if the two activities

are combined.

Graficzne i matematyczne wyprowadzenie kosztów w SR
dla funkcji produkcji :

2

/

1

2

/

1

L

K

x =

:

K

wx

wL

SRVC

2

=

=

K

r

K

wx

K

r

wL

SRTC

+

=

+

=

2

K

wx

x

K

wx

x

wL

SRAVC

=

=

=

/

2

x

K

r

K

wx

x

K

r

x

wL

SRATC

+

=

+

=

K

wx

SRTC

dx

d

SRMC

2

=

=

Wyprowadzenie kosztów przeciętnych

i krańcowych

Przykład: Koszty w SR drukarni w Norwegii

Skutki wprowadzenia podatku jednostkowego w wysokości $10 na koszty w SR

Wpływ podatku jednostkowego w wysokości $10 przesuwa zarówno krzywą kosztów krańcowych, jak i
krzywą kosztów przeciętnych o $10. To równoległe przesunięcie krzywej kosztów przeciętnych do góry
powoduje, że minimum krzywej kosztów przeciętnych zarówno przed opodatkowaniem, AC

b

, jak i po nim,

AC

a

, wypada przy tej samej wielkości produkcji równej 8 sztuk.

Przykład: wpływ opłaty licencyjnej, L, na wielkość produkcji przy minAC

Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku

Dla funkcji:

x = K

1/2

L

1/2

można wykazać, że:

MC = min ATC

w SR.

Zależność między kosztami

w LR i SR

Funkcje LRTC są obwiedniami funkcji SRTC

Funkcja LRTC jest obwiednią funkcji SRTC

Przykład: Krzywe kosztów w LR rafinerii

Przykład: Dokonywanie wyboru między drukarką laserową,

a atramentową