dr hab. Antoni C. Mituś, prof. PWr

Wrocław, 06.10.2012

Fizyka I

Lista 4 - Elementy rachunku wektorowego

(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejności; (*) - nadobowi

,

azkowe)

1. (!) Dane s

,

a dwa wektory: ~a = 3ˆi+ 4 ˆj + 5 ˆk, ~b = −ˆi+ˆi+ ˆk. Obliczyć (a) długość każdego

wektora, (b) ich iloczyn skalarny, (c) ich iloczyn wektorowy i (d) k

,

at mi

,

edzy nimi.

2. (!) Pokazać, że ~a × ~b = −~b × ~a (wzór na iloczyn wektorowy w układzie kartezjańskim!).

3. (!) Pokazać, że:

(a) pole równoległoboku, którego boki tworz

,

a wektory ~a, ~b, wynosi |~a × ~b|;

(b) obj

,

etość równoległościanu zbudowanego na wektorach ~a, ~b, ~c wynosi |(~a × ~b) · c|.

4. (!) Trójk

,

at jest utworzony przez trzy wektory: ~

C = ~

A + ~

B. Prosz

,

e (i), podnieść do

kwadratu obie strony i wyprowadzić równanie kosinusów oraz (ii), pomnożyć wektorowo
obie strony tego równania przez ~

A i wyprowadzić prawo sinusów.

5. (!) Nat

,

eżenie pola elektrycznego ~

E(~r) pochodz

,

acego od ładunku punktowego Q > 0 znaj-

duj

,

acego si

,

e w pocz

,

atku układu współrz

,

ednych dane jest w punkcie opisanym wektorem

~r wzorem (k

0

- stała): ~

E(~r) = k

0

~r

Q

r

3

. Znaleźć ~

E(~r) w punkcie ~r = [1, 2, 3].

6. (*) Przez powierzchni

,

e S przepływa ciecz o stałej g

,

estości ρ. Pr

,

edkość cieczy zależy od

czasu i miejsca: ~v = ~v(~r, t). Prosz

,

e napisać formalne wyrażenie na mas

,

e cieczy przepły-

waj

,

ac

,

a przez t

,

e powierzchni

,

e w czasie od t

1

do t

2

.

7. (!) Układ biegunowy

(a) Współrz

,

edne kartezjańskie punktu wynosz

,

a (1,3). Wyznaczyć współrz

,

edne biegu-

nowe tego punktu.

(b) Dane s

,

a dwa punkty o współrz

,

ednych biegunowych (r, φ), (r + dr, φ + δφ). Obliczyć

odległość mi

,

edzy tymi punktami.

(c) W punkcie o współrz

,

ednych kartezjańskich (1,2) zaczepiono wektor ~a o składowych

kartezjańskich ~a = [0, 1]. Przedstawić ~a w układzie biegunowym: ~a = [a

r

, a

ϕ

].

(d) (*) Dane jest stałe pole wektorowe w kartezjańskim układzie współrz

,

ednych: ~a(x, y) =

[a

x

, a

y

]. Wyznaczyć to pole w układzie biegunowym: ~a(r, φ) = [a

r

(r, φ), a

φ

(r, φ)].

(e) Na cz

,

astk

,

e w punkcie zadanym przez współrz

,

edne biegunowe (r, φ) działa siła zadana

we współrz

,

ednych biegunowych: ~

F = [1/r

2

, 0]. (a) Narysować schematycznie pole

wektorowe ~

F (por. przykłady z wykładu). (b) Obliczyć prac

,

e siły ~

F nad cz

,

astk

,

a

ulegaj

,

ac

,

a przesuni

,

eciu wzdłuż pełnego obwodu okr

,

egu o środku w pocz

,

atku układu

współrz

,

ednych i promieniu R.

8. (*) Dwuwymiarowe wektory i tensory kartezjańskie

(a) Pokazać, że iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem (a wi

,

ec że jego wartość nie

zależy od wyboru układu współrz

,

ednych) dwoma sposobami: (i), z definicji iloczynu

skalarnego oraz (ii), obliczaj

,

ac jego wartość w układzie współrz

,

ednych obróconym o

dowolny k

,

at.

(b) Dany s

,

a cztery punkty materialne opisane wektorami ~r

(l)

≡ (x

(l)
1

, x

(l)
2

), l = 1, 2, 3, 4,

gdzie ~r

(1)

= (2, 2), ~r

(2)

= (−1, 1), ~r

(3)

= (−2, −2), ~r

(4)

= (1, −1). (a) Wyznaczyć skła-

dowe tensora T

ij

=

P

4
l=1

x

(l)
i

x

(l)
j

. (b) Wyznaczyć składowe tego tensora T

0

ij

w układzie

obróconym o k

,

at φ. (c) Czy istnieje układ, w którym ten tensor jest reprezentowany

przez macierz diagonaln

,

a?

9. (*) Zastosowanie tensora Levi-Civity do działań na wektorach.

(Literatura do zadań 3, 4, 9: C. Kittel, Mechanika)