dr hab. Antoni C. Mituś, prof. PWr

Wrocław, 06.10.2012

Fizyka I

Lista 4 - Elementy rachunku wektorowego

(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejności; (*) - nadobowiazkowe)

,

1. (!) Dane sa dwa wektory: ~a = 3ˆ i+ 4 ˆ j + 5 ˆ k, ~b = −ˆ i+ˆ i+ ˆ k. Obliczyć (a) długość każdego

,

wektora, (b) ich iloczyn skalarny, (c) ich iloczyn wektorowy i (d) kat miedzy nimi.

,

,

2. (!) Pokazać, że ~a × ~b = −~b × ~a (wzór na iloczyn wektorowy w układzie kartezjańskim!).

3. (!) Pokazać, że:

(a) pole równoległoboku, którego boki tworza wektory ~a, ~b, wynosi |~a × ~b|;

,

(b) objetość równoległościanu zbudowanego na wektorach ~a, ~b, ~c wynosi |( ~a × ~b) · c|.

,

4. (!) Trójkat jest utworzony przez trzy wektory: ~

C = ~

A + ~

B. Prosze (i), podnieść do

,

,

kwadratu obie strony i wyprowadzić równanie kosinusów oraz (ii), pomnożyć wektorowo obie strony tego równania przez ~

A i wyprowadzić prawo sinusów.

5. (!) Nateżenie pola elektrycznego ~

E( ~r) pochodzacego od ładunku punktowego Q > 0 znaj-

,

,

dujacego sie w poczatku układu współrzednych dane jest w punkcie opisanym wektorem

,

,

,

,

~r wzorem ( k 0 - stała): ~

E( ~r) = k 0 ~r Q . Znaleźć ~

E( ~r) w punkcie ~r = [1 , 2 , 3].

r 3

6. (*) Przez powierzchnie S przepływa ciecz o stałej gestości ρ. Predkość cieczy zależy od

,

,

,

czasu i miejsca: ~v = ~v( ~r, t). Prosze napisać formalne wyrażenie na mase cieczy przepły-

,

,

wajaca przez te powierzchnie w czasie od t

,

,

,

,

1 do t 2.

7. (!) Układ biegunowy

(a) Współrzedne kartezjańskie punktu wynosza (1,3). Wyznaczyć współrzedne biegu-

,

,

,

nowe tego punktu.

(b) Dane sa dwa punkty o współrzednych biegunowych ( r, φ) , ( r + dr, φ + δφ). Obliczyć

,

,

odległość miedzy tymi punktami.

,

(c) W punkcie o współrzednych kartezjańskich (1,2) zaczepiono wektor ~a o składowych

,

kartezjańskich ~a = [0 , 1]. Przedstawić ~a w układzie biegunowym: ~a = [ ar, aϕ].

(d) (*) Dane jest stałe pole wektorowe w kartezjańskim układzie współrzednych: ~a( x, y) =

,

[ ax, ay]. Wyznaczyć to pole w układzie biegunowym: ~a( r, φ) = [ ar( r, φ) , aφ( r, φ)].

(e) Na czastke w punkcie zadanym przez współrzedne biegunowe ( r, φ) działa siła zadana

,

,

,

we współrzednych biegunowych: ~

F = [1 /r 2 , 0]. (a) Narysować schematycznie pole

,

wektorowe ~

F (por. przykłady z wykładu). (b) Obliczyć prace siły ~

F nad czastka

,

,

,

ulegajaca przesunieciu wzdłuż pełnego obwodu okregu o środku w poczatku układu

,

,

,

,

,

współrzednych i promieniu R.

,

8. (*) Dwuwymiarowe wektory i tensory kartezjańskie

(a) Pokazać, że iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem (a wiec że jego wartość nie

,

zależy od wyboru układu współrzednych) dwoma sposobami: (i), z definicji iloczynu

,

skalarnego oraz (ii), obliczajac jego wartość w układzie współrzednych obróconym o

,

,

dowolny kat.

,

(b) Dany sa cztery punkty materialne opisane wektorami ~r( l) ≡ ( x( l) , x( l)) , l = 1 , 2 , 3 , 4,

,

1

2

gdzie ~r(1) = (2 , 2) , ~r(2) = ( − 1 , 1) , ~r(3) = ( − 2 , − 2) , ~r(4) = (1 , − 1). (a) Wyznaczyć skła-P

dowe tensora T

4

ij =

x( l) x( l). (b) Wyznaczyć składowe tego tensora T 0 w układzie l=1

i

j

ij

obróconym o kat φ. (c) Czy istnieje układ, w którym ten tensor jest reprezentowany

,

przez macierz diagonalna?

,

9. (*) Zastosowanie tensora Levi-Civity do działań na wektorach.

( Literatura do zadań 3, 4, 9: C. Kittel, Mechanika)