dr hab. Antoni C. Mituś, prof. PWr

Wrocław, 09.10.2012

Fizyka I

Lista 5 - Elementy kinematyki na płaszczyźnie i w przestrzeni

(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejności; (*) - nadobowi

,

azkowe)

1. (!) Cz

,

astka porusza si

,

e po płaszczyźnie; współrz

,

edne kartezjańskie x oraz y tej cz

,

astki

zależ

,

a od czasu: (a) x = sin(t), y = cos(t); (b) x = t, y = t

2

; (c) x = t

2

, y = t

2

.

(a) Wyznaczyć równanie toru cz

,

astki.

(b) Wyznaczyć wektory pr

,

edkości oraz przyspieszenia w każdym z przypadków.

(c) Wznaczyć składow

,

a normaln

,

a oraz styczn

,

a wektora przyspieszenia w chwili t. Nary-

sować wykresy zależności tych składowych od czasu.

2. (!) Wektor wodz

,

acy punktu materialnego wynosi ~r(t) = [cos(t), sin(t), t].

(a) Jaka krzywa jest torem ruchu? Naszkicować t

,

e krzyw

,

a.

(b) Wyznaczyć wektor przyspieszenia w chwili t = 0.

3. (!) Cz

,

astka porusza si

,

e po płaszczyźnie; współrz

,

edne biegunowe r oraz ϕ tej cz

,

astki zależ

,

a

od czasu: (a) r = t, ϕ = π/4; (b) r = R (2 + sin(t)), ϕ = t. Opisać tor ruchu cz

,

astki.

4. (!) Ruch punktu materialnego w biegunowym układzie współrz

,

ednych opisuj

,

a równania

r = b t, ϕ = c/t (b, c - stałe). Znaleźć tor ruchu, pr

,

edkość i przyspieszenie punktu jako

funkcje czasu. Narysować wykresy v(t), a(t) dla b > 0, c > 0.

5. (*) Punkt materialny porusza si

,

e ze stał

,

a pr

,

edkości

,

a |~v| = const. Prosz

,

e pokazać, że

wektor przyspieszenia jest w tym ruchu w każdej chwili prostopadły do toru ruchu.
Wskazówka: zróżniczkować po czasie ~v · ~v.
Komentarz: w rozważanym przypadku wartość wektora przyspieszenia definiuje krzywizn

,

e

κ krzywej: κ(t) = |~v

0

(t)|. Ile wynosi krzywizna okr

,

egu? Jak zbudować trzy ortonormalne

wektory (jeden z nich to ~v(t)) opisuj

,

ace geometri

,

e krzywej (tj. sposób, w jaki si

,

e skr

,

eca

i obraca), tworz

,

ace tzw. trójnóg Freneta? (lit.: J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej

zastosowania, str. 27)

6. (*) Położenie punktu materialnego dane jest we współrz

,

ednych biegunowych wzorami

r = R, ϕ = t

2

. Wyznaczyć drog

,

e przebyt

,

a przez punkt materialny w czasie t, jeżeli w

chwili t = 0 punkt spoczywał. W tym celu:

(a) Wyznaczyć zależność pr

,

edkości od czasu v(t).

(b) Wyznaczyć przyspieszenie styczne. Jakim ruchem porusza si

,

e punkt materialny?

7. (*) Ruch w układzie walcowym

Położenie punktu w walcowym układzie współrz

,

ednych zadane jest trzema liczbami:

(r, ϕ, z).

(a) Prosz

,

e znaleźć składowe nieskończenie małego wektora przesuni

,

ecia d~s, ł

,

acz

,

acego

punkty (r, ϕ, z) i (r + dr, ϕ + dϕ, z + dz) w walcowym układzie współrz

,

ednych. Na

podstawie tego wyniku napisać wyrażenia na:
(i) kwadrat odległości mi

,

edzy tymi punktami;

(ii) kwadrat długości wektora pr

,

edkości.

(b) Podać współrz

,

edne walcowe punktu materialnego z zadania 2.

(c) Wyznaczyć zależność długości wektora pr

,

edkości od czasu w zadaniu 2: w tym celu

zastosować wyprowadzone wyżej wzory.

8. (*) Ruch w układzie sferycznym

Położenie punktu w sferycznym układzie współrz

,

ednych zadane jest trzema liczbami:

(r, ϑ, ϕ).

(a) Prosz

,

e znaleźć składowe nieskończenie małego wektora przesuni

,

ecia d~s, ł

,

acz

,

acego

punkty (r, ϑ, ϕ) i (r + dr, ϑ + dϑ, ϕ + dϕ) w sferycznym układzie współrz

,

ednych i na

podstawie tego wyniku napisać wyrażenia na
(i) kwadrat odległości mi

,

edzy tymi punktami;

(ii) kwadrat długości wektora pr

,

edkości.

(b) Położenie punktu materialnego dane jest w układzie sferycznym wzorami: r(t) =

R, ϕ(t) = t, ϑ(t) = exp(−t), (t ≥ 0).
(i) Opisać trajektori

,

e ruchu;

(ii) wyznaczyć zależność długości wektora pr

,

edkości od czasu.

Zad. 7 i 8: E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów;
zad. 7(a), 8(a): L.D. Landau, I. M. Lifszyc, Mechanika, paragraf 4.