dr hab. Antoni C. Mituś, prof. PWr
Wrocław, 09.10.2012
Fizyka I
Lista 5 - Elementy kinematyki na płaszczyźnie i w przestrzeni
(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejności; (*) - nadobowi
,
azkowe)
1. (!) Cz
,
astka porusza si
,
e po płaszczyźnie; współrz
,
edne kartezjańskie x oraz y tej cz
,
astki
zależ
,
a od czasu: (a) x = sin(t), y = cos(t); (b) x = t, y = t
2
; (c) x = t
2
, y = t
2
.
(a) Wyznaczyć równanie toru cz
,
astki.
(b) Wyznaczyć wektory pr
,
edkości oraz przyspieszenia w każdym z przypadków.
(c) Wznaczyć składow
,
a normaln
,
a oraz styczn
,
a wektora przyspieszenia w chwili t. Nary-
sować wykresy zależności tych składowych od czasu.
2. (!) Wektor wodz
,
acy punktu materialnego wynosi ~r(t) = [cos(t), sin(t), t].
(a) Jaka krzywa jest torem ruchu? Naszkicować t
,
e krzyw
,
a.
(b) Wyznaczyć wektor przyspieszenia w chwili t = 0.
3. (!) Cz
,
astka porusza si
,
e po płaszczyźnie; współrz
,
edne biegunowe r oraz ϕ tej cz
,
astki zależ
,
a
od czasu: (a) r = t, ϕ = π/4; (b) r = R (2 + sin(t)), ϕ = t. Opisać tor ruchu cz
,
astki.
4. (!) Ruch punktu materialnego w biegunowym układzie współrz
,
ednych opisuj
,
a równania
r = b t, ϕ = c/t (b, c - stałe). Znaleźć tor ruchu, pr
,
edkość i przyspieszenie punktu jako
funkcje czasu. Narysować wykresy v(t), a(t) dla b > 0, c > 0.
5. (*) Punkt materialny porusza si
,
e ze stał
,
a pr
,
edkości
,
a |~v| = const. Prosz
,
e pokazać, że
wektor przyspieszenia jest w tym ruchu w każdej chwili prostopadły do toru ruchu.
Wskazówka: zróżniczkować po czasie ~v · ~v.
Komentarz: w rozważanym przypadku wartość wektora przyspieszenia definiuje krzywizn
,
e
κ krzywej: κ(t) = |~v
0
(t)|. Ile wynosi krzywizna okr
,
egu? Jak zbudować trzy ortonormalne
wektory (jeden z nich to ~v(t)) opisuj
,
ace geometri
,
e krzywej (tj. sposób, w jaki si
,
e skr
,
eca
i obraca), tworz
,
ace tzw. trójnóg Freneta? (lit.: J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej
zastosowania, str. 27)
6. (*) Położenie punktu materialnego dane jest we współrz
,
ednych biegunowych wzorami
r = R, ϕ = t
2
. Wyznaczyć drog
,
e przebyt
,
a przez punkt materialny w czasie t, jeżeli w
chwili t = 0 punkt spoczywał. W tym celu:
(a) Wyznaczyć zależność pr
,
edkości od czasu v(t).
(b) Wyznaczyć przyspieszenie styczne. Jakim ruchem porusza si
,
e punkt materialny?
7. (*) Ruch w układzie walcowym
Położenie punktu w walcowym układzie współrz
,
ednych zadane jest trzema liczbami:
(r, ϕ, z).
(a) Prosz
,
e znaleźć składowe nieskończenie małego wektora przesuni
,
ecia d~s, ł
,
acz
,
acego
punkty (r, ϕ, z) i (r + dr, ϕ + dϕ, z + dz) w walcowym układzie współrz
,
ednych. Na
podstawie tego wyniku napisać wyrażenia na:
(i) kwadrat odległości mi
,
edzy tymi punktami;
(ii) kwadrat długości wektora pr
,
edkości.
(b) Podać współrz
,
edne walcowe punktu materialnego z zadania 2.
(c) Wyznaczyć zależność długości wektora pr
,
edkości od czasu w zadaniu 2: w tym celu
zastosować wyprowadzone wyżej wzory.
