dr hab. Antoni C. Mituś, prof. PWr
Wrocław, 03.10.2012
Fizyka I
Lista 2 - Elementy kinematyki (ruch po linii prostej)
(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejności; (*) - nadobowiazkowe)
,
1. (!) Obliczyć pochodne po zmiennej x nastepujacych funkcji: (a) 2 + x + x 3; (b) x 3 sin( x);
√
,
,
(c)
3 x; (d) sin( y 2); (e) cos3( x); (f) tg( x) ≡ sin( x) / cos( x); (g) xy sin( z); (h) f 2( x).
2. (!) Położenie punktu materialnego jest zadane za pomoca wyrażenia: x( t) = t 3 − 27 t + 4.
,
(a) Znaleźć funkcje, opisujace zależność od czasu predkości v( t) i przyspieszenia a( t).
,
,
(b) W jakiej chwili czasu v = 0?
(c) Naszkicować wykres x( t) i omówić ruch czastki dla t ≥ 0.
,
3. (!) Położenie punktu materialnego dane jest funkcja x( t) = e−t sin t ( t ≥ 0).
,
(a) Wyznaczyć predkość v( t) i przyspieszenie a( t) tego punktu.
,
(b) Naszkicować wykresy x( t) , v( t) , a( t).
(c) (*) Wyznaczyć momenty czasu dla których (a) predkość i (b) przyspieszenie przyj-
,
muja wartości ekstremalne.
,
4. (*) Położenia dwóch punktów materialnych wynosza x
,
1( t) = v 0 t, x 2( t) = 1 − t 2
( t ≥ 0).
Dla jakiej wartości v 0 oba punkty w chwili spotkania maja te sama wartość bezwzgledna
,
,
,
,
,
predkości?
,
R
R
R
5. (!) Obliczyć nastepujace całki: (a)
1 dx; (b) 1 x 2 dx; (c) b(1 + x + 2 x 3) dx; (d)
,
,
0
0
a
R
R
π sin( x) dx; (e) 3 2 x− 2 dx.
0
1
6. (!) Przyspieszenie punktu materialnego dane jest wyrażeniem a( t) = t.
(a) Znaleźć zależność v( t) predkości punktu od czasu, jeżeli wiadomo, że v(0) = 0.
,
(b) Znaleźć zależność x( t) położenia punktu od czasu, jeżeli wiadomo, że x(0) = 1.
7. (!) Skrytykować (znaleźć bład) nastepujace rozumowanie: Achilles goni żółwia. Dobiega
,
,
,
do miejsca w którym żółw był przed chwila. Ten jednak przebył w tym czasie pewna droge.
,
,
,
Achilles znów dobiega .. itd. A wiec nigdy nie dogoni żółwia.
,
8. (!) Oszacować (podać rzad wielkości) liczb piłek używanych na Euro 2012, które zmieści-
,
łyby sie wewnatrz Ziemi.
,
,
Uzupełnienia
Uzupełnienie 1: pochodne
¡
¢
• αf ( x) + βg( x) 0 = αf 0( x) + βg0( x) ( α, β ∈ R).
¡
¢
¡
¢
• f ( x) g( x) 0 = f 0( x) g( x) + f ( x) g0( x), f ( x) 0 = f0( x) g( x) −f( x) g0( x) .
g( x)
g 2( x)
¡ ¢
¡
¢
¡
¢
¡ ¢
• xn 0 = nxn− 1 , sin( x) 0 = cos( x) , cos( x) 0 = − sin( x) , ex 0 = ex.
Uzupełnienie 2: całka oznaczona
R b f( x) dx = Φ( b) − Φ( a), gdzie funkcja Φ( x) spełnia równanie: Φ 0( x) = f( x).
a
Uzupełnienie 3: dwa podstawowe wzory z wykładu:
R
R
x( T ) − x(0) = T v( t) dt;
v( T ) − v(0) = T a( t) dt.
0
0