LISTA ZADA NR

4

Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ

Funkcje, moc zbioru

1. Zbada czy podane relacje s funkcjami? Je li tak, to sprawdzi czy s surjekcjami oraz czy s

injekcjami
a)

{

}

2

2

2

:

)

,

(

y

x

y

x

R

=

∈

=

R

.

b)

{

}

2

2

:

})

0

{

(

)

,

(

y

x

y

x

R

=

∪

×

∈

=

+

R

R

.

c)

}

:

)

,

{(

2

3

y

x

y

x

R

=

×

∈

=

Z

N

.

d)

}

0

log

:

})

0

{

(

)

,

{(

2

=

−

×

∪

∈

=

+

y

x

y

x

R

R

R

.

e)

[ ]

{

}

0

:

)

,

(

2

=

−

∈

=

y

x

y

x

R

R

.

Je li dana relacja jest bijekcj , wyznaczy funkcj odwrotn .

2. Czy relacja

d

cx

b

ax

y

y

xR

+

+

=

⇔

, gdzie

R

∈

d

c

b

a

,

,

,

i

0

≠

− bc

ad

jest funkcj w zbiorze

R

R ×

? Je li nie, to jaki jest najwi kszy podzbiór

R

⊂

X

, dla którego relacja ta, ale zawarta w

zbiorze

R

×

X

b dzie funkcj ? Czy funkcja ta jest injekcj ? Czy jest surjekcj ? Je li nie to

wyznacz zbiór

R

⊂

Y

, taki aby funkcja

Y

X

R

×

⊂

była surjekcj . Relacja

Y

X

R

×

⊂

jest

bijekcj , a zatem relacja do niej odwrotna jest tak e funkcj (równie bijekcj ). Wyznacz wzór

funkcji odwrotnej. Narysuj wykresy funkcji R i funkcji odwrotnej dla

3

,

1

,

9

,

2

=

=

=

=

d

c

b

a

.

3. Dane s zbiory

}

1

:

)

,

{(

2

2

2

≤

+

∈

=

y

x

y

x

D

R

,

]

5

,

0

[

=

Z

oraz relacja

Z

D

R

×

⊂

, okre lona

nast puj co

2

2

5

)

,

(

y

x

z

z

R

y

x

−

−

=

⇔

. Czy relacja ta jest funkcj ? Je li tak, to czy jest

surjekcj ? Czy jest injekcj ?
4. Niech funkcja

R

R →

:

f

b dzie okre lona wzorem

2

3

3

)

(

2

+

−

=

x

x

x

f

. Znale :

a)

)

}

2

,

1

{

(

f

.

b)

)

]

1

,

2

[

(

−

−

f

.

c)

)

]

2

,

(

(

−

−∞

f

.

d)

)

}

8

,

2

,

0

{

(

1

−

f

.

e)

)

]

8

,

2

[

(

1

−

f

.

f)

)

)

6

,

(

(

1

−

−∞

−

f

.

5. Niech A b dzie zbiorem n – elementowym, a B zbiorem m- elementowym. Ile istnieje

a) relacji binarnych zawartych w

B

A

×

?

b) funkcji ze zbioru A do zbioru B?

c) funkcji ró nowarto ciowych (injekcji) z A do B?

d) funkcji wzajemnie jednoznacznych (bijekcji) z A do B?
6. Uzasadni , e nast puj ce zbiory s przeliczalne: zbiór liczb całkowitych ujemnych, zbiór

liczb całkowitych, zbiór liczb naturalnych nieparzystych, zbiór liczb wymiernych.
7.Uzasadni równoliczno zbiorów:

a)

R

~

)

,

(

~

2

,

2

b

a

−

.

b)

.

)

1

,

0

(

~

)

1

,

0

(

2

8. Jak moc maj zbiory

}

5

:

{

>

∈

=

x

x

A

R

,

}

|

4

:

{

n

n

B

N

∈

=

. Jakiej mocy s zbiory

B

A

∪

,

B

A

∩

oraz

B

A

×

. Odpowied uzasadnij.

Dorota Majorkowska-Mech