Semestr

zimo

wy

2007/2008

Analiza

Ma

tema

ty zna

3

Lista

zada«

nr

6

¢w.

1

Obli zy¢

wszystkie

p

o

ho

dne

z¡stk

o

w

e

p

o

dan

y

h

funk

ji

a)

f

(x, y) = 2x

3

− 4y

7

+ xy

,

d)

p

(x, y) =

2xy

x

2

+y

2

,

b)

g

(x, y) = x sin e

x

2

+y

2

,

e)

r

(x, y, z) = x

y

z

,

)

h

(x, y, z) = arctg (x + y + z) − 3(x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

,

f

)

d

(x, y) = sin(x cos y)

.

¢w.

2

Obli zy¢

p

o

ho

dn¡

kierunk

o

w

¡

funk

ji

f

wzdªu»

w

ektora

~

u

w

punk

ie

P

a)

f

(x, y) = 3x

3

− 4xy + 2 ~u =

h

√

2

2

,

−

√

2

2

i

P

= (1, 4)

b)

f

(x, y, z) = x + y

2

+ z

3

~

u

=



1
3

,

2
3

,

−2

3



P

= (−3, −2, −1)

,

)

f

(x, y) = x

2

~

u

= [0, 1]

P

= (10, 10)

.

¢w.

3

Dla

p

o

dan

y

h

funk

ji

wielu

zmienn

y

h

spra

wdzi¢

ró

wno±¢

o

dp

o

wiedni

h

p

o

ho

dn

y

h

miesza-

n

y

h

rzdu

2.

a)

f

(x, y) =

1+y

2

sin x

,

d)

f

(x, y) = x

y

,

b)

f

(x, y) =

√

x

−

√

y

,

e)

f

(x, y) = e

e

x

+ e

e

2y

.

)

f

(x, y, z) = (x + 1)(y + 2)(z + 3)

,

¢w.

4

Obli zy¢

p

o

ho

dn¡

funk

ji

F

,

je»eli

a)

F

(x) =

x

2

R

x

xy dy

,

b)

F

(x) =

cos x

R

sin x

x

3

y dy

.

¢w.

5

W

yzna zy¢

dziedzin

y

oraz

punkt

y

kryt

y zne

dla

p

o

dan

y

h

funk

ji.

a)

f

(x, y) = (x − 3)

2

+ (y + 3)

4

,

)

f

(x, y) =

p4y − y

2

− x

2

,

b)

f

(x, y) = x sin y

,

d)

f

(x, y) = x

4

+ y

3

+ 32x − 9y

.

zd.

1

T

am

gdzie

jest

to

mo»liw

e,

wyzna zy¢

funk

j

f

zna

j¡

jej

p

o

ho

dne

z¡stk

o

w

e

f

′

x

oraz

f

′

y

.

a)

f

′

x

(x, y) = 6x + 4y

f

′

y

(x, y) = 4x + 6y

2

f

(1, 1) = 9

,

b)

f

′

x

(x, y) = 3x

2

+ cos(xy) f

′

y

(x, y) = −4y +

x

y

cos(xy) −

1

y

2

sin(xy)

f

(0, 1) = 0

,

)

f

′

x

(x, y) = 2x

3

+ ln y

f

′

y

(x, y) =

1

xy

f

(1, 1) = 2

.

zd.

2

W

yzna zy¢

punkt

y

kryt

y zne

p

o

dan

y

h

funk

ji

i

znale¹¢

ekstrema

lok

alne.

a)

f

(x, y) = xy + y

2

+ x − y

,

d)

f

(x, y) = x

2

− 2y

2

,

b)

f

(x, y) =

xy

x

2

+y

2

+1

,

e)

f

(x, y) = yx

2

+ y

3

− 4x

2

,

)

f

(x, y) = e

x

sin y

,

f

)

f

(x, y) = x

2

− 6x cos y + 9

.

zd.

3

Znale¹¢

na

jwiksz¡

i

na

jmniejsz¡

w

arto±¢

funk

ji

f

na

p

o

dan

ym

zbiorze

U

⊂ R

2

oraz

wyzna-

zy¢

punkt

y

,

w

który

h

te

w

arto± i

s¡

przyjmo

w

ane.

a)

f

(x, y) = x

2

+ 2xy + 3y

2

U

= {(x, y) : −2 6 x 6 4, −1 6 y 6 3}

,

b)

f

(x, y) = x

2

− 4xy + y

3

+ 4y

U

jest

tró

jk

¡tem

o

wierz

hoªk

a

h

(−1, −1)

,

(7, −1)

i

(7, 7)

,

)

f

(x, y) = x

2

− 2y

2

U

= {(x, y) : x

2

+ y

2

6

4}

,

d)

f

(x, y) = 4x

3

− 2x

2

y

+ y

2

zbiór

U

jest

obszarem

ograni zon

ym

przez

wykresy

funk

ji

y

= x

2

i

y

= 9

.

zd.

4

Znale¹¢

punkt

y

na

wykresie

funk

ji

f

(x, y) = xy

3

le»¡ e

na

jbli»ej

p

o

z¡tku

ukªadu

wsp

óª-

rzdn

y

h

(0, 0, 0)

.

zd.

5

Jak

a

jest

minimalna

o

dlegªo±¢

punktó

w

pªasz zyzn

y

o

ró

wnaniu

4x − 3y + z = 5

o

d

punktu

P

= (2, 1, −1)

?