Lista zadań nr 2.

Strona 1 z 3

2. CIĄGI LICZBOWE

2.1. Wypisać kilka początkowych wyrazów ciągu

 

n

a

, którego wyraz ogólny określony jest

wzorem:

a)

2

1

n

a

n



b)

n

n

a

n

1





c)

 

n

n

a

2





d)

n

n

n

a































2

1

2

1

1

2.2. Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:

a)

2







n

n

a

n

b)

n

n

b

n







1

c)

1

2





n

n

c

d)











 











 











 











 



n

n

d

2

1

1

8

1

1

4

1

1

2

1

1



e)

n

n

n

n

n

e

!

2





2.3. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone.

a)

n

a

n

1



b)

2







n

n

a

n

c)











 











 











 











 



n

n

a

2

1

1

8

1

1

4

1

1

2

1

1



d)





1

1

2







n

n

n

a

n

e)

2

3

3





n

n

n

a

f)

2





n

a

n

g)

n

a

n

1

2





2.4. Korzystając z definicji granicy ciągu, uzasadnić:

a)

2

1

2

lim









n

n

n

b)











3

1

lim n

n

c)















n

n

2

5

lim

Lista zadań nr 2.

Strona 2 z 3

2.5. Obliczyć granicę ciągu określonego wzorem rekurencyjnym:

















n

n

a

a

a

2

2

1

1

2.6. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

a)







1

2

1

1

2









n

n

n

a

n

b)

3

2

3

1

n

n

a

n







c)

1

2

2

6

4

2

3

3













n

n

n

n

n

a

n

d)

1

3

10

5

2

2









n

n

n

a

n

e)

2

1

3

3

2



















n

n

a

n

f)

10

2

3







n

n

a

n

g)

5

3

2

1









n

n

a

n

h)

3

3

2

1

1







n

n

a

n

i)

2

1

5

2

2

4











n

n

n

n

a

n

2.7. Obliczyć granicę ciągu

 

n

a

o wyrazie ogólnym:

a)

n

n

n

a

n

2

7

4

1

2







b)

n

n

n

a

n

2

1

2

4

2









c)

n

n

n

a

n

3

2

9

2







d)

n

n

n

a

n

2

2







e)





n

n

n

a

n

2

1

2

2







f)

n

n

n

a

n







3

2

3

4

2.8. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

a)

n

n

n

n

n

a

3

4

2

3







b)

2

2

1

3

3

2











n

n

n

n

a

c)

n

n

n

n

a

5

6

7







d)

2

9

5

7

3

4

2











n

n

n

a

e)

2

3

4

1







n

n

n

a

2.9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę ciągu

 

n

a

o wyrazie

ogólnym:

a)

3

cos

n

n

a

n



b)

n

n

n

n

n

a









3

2

c)

n

n

n

n

a

1

4

3

3

1













































d)

1

3

4

sin

2







n

n

n

a

n

e)

n

n

n

n

n

a

2

cos

7

5







f)

n

n

n

n

n

a













6

3

2

g)

n

n

n

n

n

a

2

sin

3

5

2







h)

n

n

n

a

3





i)

n

n

n

n

a

1

5

3

2

5







j)

n

n

n

n

a

6

2

14

2







Lista zadań nr 2.

Strona 3 z 3

2.10. Obliczyć granicę ciągu

 

n

a

o wyrazie ogólnym:

a)

n

n

n

a











 



3

1

b)

n

n

n

a











 



2

1

c)

1

2

1













 



n

n

n

n

a

d)

3

4

1















 



n

n

n

a

e)

n

n

n

a











 



2

1

1

f)

n

n

n

n

a

2

5

3

4





















g)

n

n

n

n

a

2

1

2

1

2



















h)

n

n

n

n

a

2

1

3

2

3



















i)

n

n

n

a

6

3

2

1

1



















j)

2

6

2

2

n

n

n

n

a



















k)









n

n

n

a

n

ln

3

ln







l)









2

ln

ln







n

n

n

a

n

2.11. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

a)

2

3

2

1

n

n

a

n













b)

n

n

n

a

3

1

9

1

3

1

1

2

1

4

1

2

1

1























c)

n

n

n

n

a

!



d)

!

3

2

2

n

a

n

n

n



e)

n

n

a

n

8

5

2

log

log



f)

n

n

n

a

2

8

2

log



g)

n

n

n

a

2

2

log

log

4

9

