Lista zadań nr 1.

Strona 1 z 3

1. ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE.

1.1. Rozwiązać następujące równania i nierówności:

a)

5

3

2









x

x

b)

5

1

1

2













x

x

x

c)

0

6

5

2







x

x

d)

1

4

9

2

2









x

x

e)

1

1

2

3









x

x

x

f)

1

1

1









x

x

g)

1

2

2

1







x

x

1.2. Zapisać zbiór wymieniając wszystkie jego elementy:

a)





3

2

:







x

N

x

b)





0

2

:

2







x

R

x

c)





4

3

:







t

Z

t

d)





0

5

4

:

2









t

t

N

t

e)





4

1

4

:











a

a

Z

a

f)





















0

1

1

:

2

y

y

R

y

g)









0

2

2

1

:

2











x

x

Q

x

gdzie: N – zbiór liczb naturalnych, R – zbiór liczb rzeczywistych,
Z – zbiór liczb całkowitych, Q – zbiór liczb wymiernych

1.3. Wyznaczyć następujące zbiory:





A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A













'

'

,

\

,

\

,

'

,

'

,

,

, jeżeli:

a)









6

5

:

3

4

:













x

x

B

i

x

x

A

b)









8

4

:

3

:











x

x

B

i

x

x

A

1.4. Przedstawić na płaszczyźnie

2

R zbiory

A

B

B

A

\

,



, jeżeli:

 





 





1

:

;

,

2

:

;

2

2













y

x

y

x

B

y

x

y

x

A

1.5. Wyznaczyć

A

B

B

A





,

, jeżeli:

a)

 

 

3

,

2

,

1

,

0





B

A

b)

 





2

,

1

,

0

,

3





B

A

c)

 

2

,

1

,

1







B

A

d)



3

,

1

,

4

,

2





B

A

e)









3

:

,

5

1

:

















y

R

y

B

x

N

x

A

f)









3

2

:

,

3

2

:













y

y

B

x

x

A

g)







































1

1

1

2

:

,

3

1

log

:

2

2

y

y

R

y

B

x

Z

z

A

Lista zadań nr 1.

Strona 2 z 3

1.6. Przedstawić na płaszczyźnie zbiory:

a)

B

A



, jeżeli

 





1

:

,

,

2

1

;

0

2

















x

y

y

x

B

R

A

b)

B

A \

, jeżeli

 

 





1

:

,

,

2

2

1

;

0

2































x

y

y

x

B

R

A

1.7. Wyznaczyć ( o ile istnieją) kresy zbiorów:

a)



































N

n

x

x

A

n

,

2

1

:

b)





R

t

t

t

x

x

B









,

:

2

c)





















R

t

t

t

t

x

x

C

,

:

2

d)





















N

n

n

x

x

D

,

1

1

:

2

1.8. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a)

 





x

x

f

cos

2

1

log





b)

 





4

log

4

2









x

x

x

x

f

c)

 





t

t

f

log

arcsin



d)

 

u

u

u

h

sin



e)

 

z

z

f

2

cos



f)

 

6

5

1

2









z

z

z

g

g)

 

x

x

f

arccos



h)

 

1

1

arcsin







x

x

x

f

i)

 

3

2

2

log

2

3











x

x

x

x

x

f

1.9. Sporządź wykresy funkcji:

a)

 

x

x

f

ln



b)

 

3

2





x

x

f

c)

 



















2

;

2

;





x

tgx

x

f

d)

 





1

sgn

2





x

x

f

e)

 





1

sgn





x

x

f

f)

 





1

log

2





x

x

f

Lista zadań nr 1.

Strona 3 z 3

1.10. Wyznaczyć okres funkcji:

a)

 

x

x

f

4

3

sin

3



b)

 

x

x

x

f

cos

sin





c)

 

x

x

x

f

3

cos

sin





d)

 

x

x

x

f

2

cos

3

3

sin

2





1.11. Wykazać, że

 





1

log

2





x

x

f

jest różnowartościowa w całej dziedzinie.

1.12. Dane są funkcje

 

3

2





x

x

f

i

 

1





x

x

g

. Wyznaczyć

 





 





x

f

g

x

g

f

,

oraz

określić dziedzinę i przeciwdziedzinę każdej z tych funkcji.

1.13. Wyznaczyć funkcję odwrotną do

 

1

2

2

4







x

x

x

f

w





,

1

.

1.14. Dane są funkcje:

 

1

2

1

2

log

2

2











x

x

x

x

x

x

f

i

 





x

x

x

g

2

4

1

log

2







. Wykazać, że f

jest parzysta i g nieparzysta.

1.15. Zbadać monotoniczność funkcji

 

1

2





x

x

f

w zbiorze .

opracowała: dr R. Dąbrowska