Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2

lato 2003/2004

Z

1

1. Zbadać zbieżność punktową oraz jednostajną ciągów funkcyjnych w podanych zbiorach

a)

>

<

=

2

;

0

,

)

(sin

)

(

π

n

n

x

x

f

b)

)

2

1

;

0

,

2

)

(

<

+

=

n

n

n

x

x

x

f

c)

>

<

−

⋅

=

1

;

0

,

)

exp(

)

(

2

nx

x

n

x

f

n

Czy zachodzi równość:

dx

x

f

dx

x

f

n

n

n

n

)

(

lim

))

(

(lim

1

0

1

0

∫

∫

∞

→

∞

→

=

?

d)

R

,

1

)

(

2

2

x

n

nx

x

f

n

+

=

Czy zachodzi równość:

)

(

'

lim

))'

(

(lim

x

f

x

f

n

n

n

n

∞

→

∞

→

=

?

2. Wykazać zbieżność jednostajną szeregów funkcyjnych

a)

R

w

1

)

exp(

1

2

2

∑

∞

=

+

−

n

n

nx

b)

)

;

0

(

w

)

(

)

1

ln(

1

2

2

2

∞

+

+

+

∑

∞

=

n

x

n

nx

3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów potęgowych

a)

∑

∞

=

+

−

0

2

3

)

2

6

(

n

n

n

n

x

, b)

2

2

1

)

1

(

4

+

∞

=

−

∑

n

n

n

x

n

, c)

(

)

2

2

1

1

1

1

n

n

n

x

n

+

⋅











 −

∑

∞

=