Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2
lato 2003/2004
Z
1
1. Zbadać zbieżność punktową oraz jednostajną ciągów funkcyjnych w podanych zbiorach
a)
>
<
=
2
;
0
,
)
(sin
)
(
π
n
n
x
x
f
b)
)
2
1
;
0
,
2
)
(
<
+
=
n
n
n
x
x
x
f
c)
>
<
−
⋅
=
1
;
0
,
)
exp(
)
(
2
nx
x
n
x
f
n
Czy zachodzi równość:
dx
x
f
dx
x
f
n
n
n
n
)
(
lim
))
(
(lim
1
0
1
0
∫
∫
∞
→
∞
→
=
?
d)
R
,
1
)
(
2
2
x
n
nx
x
f
n
+
=
Czy zachodzi równość:
)
(
'
lim
))'
(
(lim
x
f
x
f
n
n
n
n
∞
→
∞
→
=
?
2. Wykazać zbieżność jednostajną szeregów funkcyjnych
a)
R
w
1
)
exp(
1
2
2
∑
∞
=
+
−
n
n
nx
b)
)
;
0
(
w
)
(
)
1
ln(
1
2
2
2
∞
+
+
+
∑
∞
=
n
x
n
nx
3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów potęgowych
a)
∑
∞
=
+
−
0
2
3
)
2
6
(
n
n
n
n
x
, b)
2
2
1
)
1
(
4
+
∞
=
−
∑
n
n
n
x
n
, c)
(
)
2
2
1
1
1
1
n
n
n
x
n
+
⋅
−
∑
∞
=