Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2
lato 2003/2004
Z
7
1. Obliczyć całkę
1
2
1
2
3
π
j
e dz
z
z
z
C
(
)
−
∫
, jeśli C jest dodatnio skierowaną krzywą Jordana
kawałkami gładką oraz
a) punkt 0 leży wewnątrz, a punkt 1 na zewnątrz krzywej C ;
b) punkt 1 leży wewnątrz, a punkt 0 na zewnątrz krzywej C ;
c) punkty 0 i 1 leżą wewnątrz krzywej C .
2. Rozwinąć funkcję f(z) w szereg Taylora wokół punktu z
0
= 1
2
+
=
z
z
)
z
(
f
, f z
z
z
z
( )
=
−
+
2
2
5
, f z
z
z
( )
(
)
=
+
2
2
1
, f z
z e
z
( )
= ⋅
.
Podać promienie zbieżności otrzymanych szeregów
3. Rozwinąć funkcję
)
z
(
f
w podanym pierścieniu P(z
0
; r, R) w szereg Laurenta
oraz podać współczynniki a
-1
,a
0
, a
1
tego rozwinięcia.
a)
)
,
;
(
P
z
sin
z
)
z
(
f
∞
⋅
=
0
0
1
b)
)
,
;
j
(
P
z
z
)
z
(
f
2
0
1
2
2
+
=
c)
)
,
;
j
(
P
z
)
j
z
(
)
z
(
f
5
1
1
1
2
2
+
−
+
=
d)
)
,
;
j
(
P
)
z
)(
z
(
z
z
)
z
(
f
5
2
1
2
5
2
2
2
+
−
+
−
=
Odp.2. 1 2
1
3
1
1
1
0
+ ⋅
−
−
+
+
=
∞
∑
( )
(
)
n
n
n
n
z
;
(
)
1
4
1
4
1
1
0
2
2
1
⋅
−
−
+ −
=
∞
+
∑
( )
(
)
(
)
n
n
n
n
n
z
z
;
1
4
1
2
3
1
2
1
+
−
− ⋅ −
+
=
∞
∑
( )
(
) (
)
n
n
n
n
n
z
;
[
]
e
n
z
z
n
n
n
⋅
−
+ −
=
∞
+
∑
1
1
1
0
1
!
(
)
(
)
3.
a) a
a
a
−
=
=
=
1
1
0
0
1
,
; b)
a
a
j
a
−
=
=
=
1
0
1
1
1
2
1
4
,
,
;
c) a
j a
j
j
a
j
j
−
= +
= −
+
=
−
+
1
0
1
2
1
1
2
1
2
,
,
(
)