Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2

lato 2003/2004

Z

7

1. Obliczyć całkę

1

2

1

2

3

π

j

e dz

z

z

z

C

(

)

−

∫

, jeśli C jest dodatnio skierowaną krzywą Jordana

kawałkami gładką oraz

a) punkt 0 leży wewnątrz, a punkt 1 na zewnątrz krzywej C ;

b) punkt 1 leży wewnątrz, a punkt 0 na zewnątrz krzywej C ;

c) punkty 0 i 1 leżą wewnątrz krzywej C .

2. Rozwinąć funkcję f(z) w szereg Taylora wokół punktu z

0

= 1

2

+

=

z

z

)

z

(

f

, f z

z

z

z

( )

=

−

+

2

2

5

, f z

z

z

( )

(

)

=

+

2

2

1

, f z

z e

z

( )

= ⋅

.

Podać promienie zbieżności otrzymanych szeregów

3. Rozwinąć funkcję

)

z

(

f

w podanym pierścieniu P(z

0

; r, R) w szereg Laurenta

oraz podać współczynniki a

-1

,a

0

, a

1

tego rozwinięcia.

a)

)

,

;

(

P

z

sin

z

)

z

(

f

∞

⋅

=

0

0

1

b)

)

,

;

j

(

P

z

z

)

z

(

f

2

0

1

2

2

+

=

c)

)

,

;

j

(

P

z

)

j

z

(

)

z

(

f

5

1

1

1

2

2

+

−

+

=

d)

)

,

;

j

(

P

)

z

)(

z

(

z

z

)

z

(

f

5

2

1

2

5

2

2

2

+

−

+

−

=

Odp.2. 1 2

1

3

1

1

1

0

+ ⋅

−

−

+

+

=

∞

∑

( )

(

)

n

n

n

n

z

;

(

)

1
4

1

4

1

1

0

2

2

1

⋅

−

−

+ −

=

∞

+

∑

( )

(

)

(

)

n

n

n

n

n

z

z

;

1
4

1

2

3

1

2

1

+

−

− ⋅ −

+

=

∞

∑

( )

(

) (

)

n

n

n

n

n

z

;

[

]

e

n

z

z

n

n

n

⋅

−

+ −

=

∞

+

∑

1

1

1

0

1

!

(

)

(

)

3.

a) a

a

a

−

=

=

=

1

1

0

0

1

,

; b)

a

a

j

a

−

=

=

=

1

0

1

1

1

2

1
4

,

,

;

c) a

j a

j

j

a

j

j

−

= +

= −

+

=

−

+

1

0

1

2

1

1
2

1

2

,

,

(

)