Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2
lato 2003-2004
Z
8
1. Zbadać krotność punktu zerowego
0
=
z
dla funkcji :a)
)
e
(
z
)
z
(
f
z
1
2
2
−
=
,
b)
)
6
(
sin
6
)
(
6
3
3
−
+
=
z
z
z
z
f
2. Wykazać, że jeżeli funkcje
)
(
,
)
(
z
h
z
f
są holomorficzne w punkcie
0
z ,
,
0
)
(
0
=
z
h
0
)
(
0
≠
z
f
, to
)
(
'
)
(
)
(
)
(
0
0
0
z
h
z
f
z
h
z
f
res
z
=
.
3.Obliczyć residua funkcji w jej punktach osobliwych:
a)
π
−
+
=
z
z
z
f
cos
1
)
(
; b)
1
)
(
2
+
=
z
e
z
f
z
; c)
0
,
sin
)
(
2
=
=
z
z
z
z
f
; d)
)
1
cos(
)
(
3
z
z
z
f
=
;
e)
2
sin
)
(
z
z
z
f
=
4. Obliczyć całki:
a)
dz
e
e
K
z
z
∫
−
+
1
1
b)
dz
e
z
j
z
K
−
∫
1
2
gdzie K jest dodatnio skierowanym okręgiem K(0 ;10).
Odp.3a)
0
)
(
=
z
f
res
π
b)
j
e
z
f
res
j
e
z
f
res
j
j
j
j
2
)
(
,
2
)
(
−
=
=
−
−
, c)
1
0
=
)
z
(
f
res
d)
24
143
)
(
2
−
=
z
f
res
, e)
1
)
(
0
=
z
f
res
. 4a)
j
π
12 ; b)
π
)
3
5
2
(
j
+
−
.