Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2

lato 2003-2004

Z

8

1. Zbadać krotność punktu zerowego

0

=

z

dla funkcji :a)

)

e

(

z

)

z

(

f

z

1

2

2

−

=

,

b)

)

6

(

sin

6

)

(

6

3

3

−

+

=

z

z

z

z

f

2. Wykazać, że jeżeli funkcje

)

(

,

)

(

z

h

z

f

są holomorficzne w punkcie

0

z ,

,

0

)

(

0

=

z

h

0

)

(

0

≠

z

f

, to

)

(

'

)

(

)

(

)

(

0

0

0

z

h

z

f

z

h

z

f

res

z

=

.

3.Obliczyć residua funkcji w jej punktach osobliwych:

a)

π

−

+

=

z

z

z

f

cos

1

)

(

; b)

1

)

(

2

+

=

z

e

z

f

z

; c)

0

,

sin

)

(

2

=

=

z

z

z

z

f

; d)

)

1

cos(

)

(

3

z

z

z

f

=

;

e)

2

sin

)

(

z

z

z

f

=

4. Obliczyć całki:

a)

dz

e

e

K

z

z

∫

−

+

1

1

b)

dz

e

z

j

z

K

−

∫

1

2

gdzie K jest dodatnio skierowanym okręgiem K(0 ;10).

Odp.3a)

0

)

(

=

z

f

res

π

b)

j

e

z

f

res

j

e

z

f

res

j

j

j

j

2

)

(

,

2

)

(

−

=

=

−

−

, c)

1

0

=

)

z

(

f

res

d)

24

143

)

(

2

−

=

z

f

res

, e)

1

)

(

0

=

z

f

res

. 4a)

j

π

12 ; b)

π

)

3

5

2

(

j

+

−

.