Analiza 2

Z

8

1. Obliczyć na podstawie definicji L-transformatę funkcji

a)

f(t) = cos

ω

t, b) f(t) = 1(t) – 1(t-1), c) f(t) = 1(t) + 1(t-1) – 21(t-2),

d) f(t) = t.

2. Wykazać, że funkcja f określona następująco:

f(t) = 0 dla t

≤

0, 1 – cos t dla 0 < t

≤

π

i –2cost dla t >

π

jest oryginałem i obliczyć z definicji jej L-transformatę.

3.

Obliczyć L-transformatę oryginału (f(t)

≡

f(t)1(t))

a)

f(t) = sh

β

t,

b) f(t) = ch

β

t,

c) f(t) = sin

2

ω

t,

d) f(t) = cos

2

ω

t,

d)

f(t) = sinxtcosyt,

f) f(t) = sin

ω

tsh

ω

t,

g) f(t) = cos

ω

tsh

ω

t.

4. Obliczyć L-transformatę oryginału

a)

tcos

ω

t,

b) tsin

ω

t,

c) t

2

cos

ω

t,

d) t

2

sin

ω

t,

e) te

t

α

−

,

f) t

2

e

t

α

−

.

5. Znaleźć oryginał, gdy dana jest jego L-transformata

a)

f (s) =

s

s

s

−

+

2

1

2

,

b) f (s) =

)

4

(

1

2

+

s

s

,

c) f (s) =

)

1

(

1

2

2

+

s

s

,

d)

f (s) =

1

1

4

−

s

,

e) f (s) =

1

4

−

s

s

.

6.

Dana jest L-transformata oryginału f(t) :

f (s) =

)

1

)(

2

(

1

−

+

s

s

s

. Obliczyć f(0+), f '(0+) i f ''(0+) .

Odp.

1.

a) s/(s

2

+

ω

2

), b) (1 – e

-s

)/s, c) 1/s + e

-s

/s – 2e

-2s

/s,

d) 1/s

2

.

2.

(1 – e

s

π

−

)/[s(s

2

+ 1)]. 3. a)

β

/(s

2

–

β

2

),

b) s/(s

2

–

β

2

), c) 2

ω

2

/[s(s

2

+ 4

ω

2

)],

d) (s

2

+ 2

ω

2

)/[s(s

2

+ 4

ω

2

)],

e) x(s

2

+ x

2

– y

2

)/[(s

2

+ x

2

+ y

2

)

2

– 4x

2

y

2

],

f) 2

ω

2

s/(s

4

+4

ω

4

),

g)

ω

(s

2

– 2

ω

2

)/(s

4

+ 4

ω

4

).

4.

a) (s

2

–

ω

2

)/(s

2

+

ω

2

)

2

,

b) 2

ω

s/(s

2

+

ω

2

)

2

,

c) 2s(s

2

– 3

ω

2

)/(s

2

+

ω

2

)

3

,

d) 2

ω

(3s

2

+

ω

2

)/(s

2

+

ω

2

)

3

,

e) 1/(s+

α

)

2

,

f) – 2/(s+

α

)

3

.

5. a) (3e

t

– 1)1(t),

b)

4

1

(1 – cos2t)1(t), c) (t – sint)1(t),

d)

2

1

(sht – sint)1(t),

e)

2

1

(cht – cost)1(t).

6. 0, 0 i 1 .