Analiza 2
Z
8
1. Obliczyć na podstawie definicji L-transformatę funkcji
a)
f(t) = cos
ω
t, b) f(t) = 1(t) – 1(t-1), c) f(t) = 1(t) + 1(t-1) – 21(t-2),
d) f(t) = t.
2. Wykazać, że funkcja f określona następująco:
f(t) = 0 dla t
≤
0, 1 – cos t dla 0 < t
≤
π
i –2cost dla t >
π
jest oryginałem i obliczyć z definicji jej L-transformatę.
3.
Obliczyć L-transformatę oryginału (f(t)
≡
f(t)1(t))
a)
f(t) = sh
β
t,
b) f(t) = ch
β
t,
c) f(t) = sin
2
ω
t,
d) f(t) = cos
2
ω
t,
d)
f(t) = sinxtcosyt,
f) f(t) = sin
ω
tsh
ω
t,
g) f(t) = cos
ω
tsh
ω
t.
4. Obliczyć L-transformatę oryginału
a)
tcos
ω
t,
b) tsin
ω
t,
c) t
2
cos
ω
t,
d) t
2
sin
ω
t,
e) te
t
α
−
,
f) t
2
e
t
α
−
.
5. Znaleźć oryginał, gdy dana jest jego L-transformata
a)
f (s) =
s
s
s
−
+
2
1
2
,
b) f (s) =
)
4
(
1
2
+
s
s
,
c) f (s) =
)
1
(
1
2
2
+
s
s
,
d)
f (s) =
1
1
4
−
s
,
e) f (s) =
1
4
−
s
s
.
6.
Dana jest L-transformata oryginału f(t) :
f (s) =
)
1
)(
2
(
1
−
+
s
s
s
. Obliczyć f(0+), f '(0+) i f ''(0+) .
Odp.
1.
a) s/(s
2
+
ω
2
), b) (1 – e
-s
)/s, c) 1/s + e
-s
/s – 2e
-2s
/s,
d) 1/s
2
.
2.
(1 – e
s
π
−
)/[s(s
2
+ 1)]. 3. a)
β
/(s
2
–
β
2
),
b) s/(s
2
–
β
2
), c) 2
ω
2
/[s(s
2
+ 4
ω
2
)],
d) (s
2
+ 2
ω
2
)/[s(s
2
+ 4
ω
2
)],
e) x(s
2
+ x
2
– y
2
)/[(s
2
+ x
2
+ y
2
)
2
– 4x
2
y
2
],
f) 2
ω
2
s/(s
4
+4
ω
4
),
g)
ω
(s
2
– 2
ω
2
)/(s
4
+ 4
ω
4
).
4.
a) (s
2
–
ω
2
)/(s
2
+
ω
2
)
2
,
b) 2
ω
s/(s
2
+
ω
2
)
2
,
c) 2s(s
2
– 3
ω
2
)/(s
2
+
ω
2
)
3
,
d) 2
ω
(3s
2
+
ω
2
)/(s
2
+
ω
2
)
3
,
e) 1/(s+
α
)
2
,
f) – 2/(s+
α
)
3
.
5. a) (3e
t
– 1)1(t),
b)
4
1
(1 – cos2t)1(t), c) (t – sint)1(t),
d)
2
1
(sht – sint)1(t),
e)
2
1
(cht – cost)1(t).
6. 0, 0 i 1 .