Analiza 2

Z

3

1. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć

a)

∫

+

−

+

K

dy

y

x

dx

y

x

)

(

)

(

2

2

2

, gdzie K jest dodatnio skierowanym brzegiem trójkąta o

wierzchołkach A = (1,1), B = (3,2) i C = (2,5);

b)

∫

+

−

K

dy

xy

ydx

x

2

2

, gdzie K jest okręgiem o równaniu x

2

+ y

2

= 2;

c)

∫

+

+

+

+

+

K

dy

y

x

x

y

xy

dx

y

x

))

ln(

(

2

2

2

2

2

, gdzie K jest ujemnie skierowanym

brzegiem prostokąta <1;4>

×

<2; 3>

2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego

a) asteroidą x = 2cos

3

t, y = 2sin

3

t, t

∈

<0;2

π

> ;

b) lemniskatą (x

2

+ y

2

)

2

= 9(x

2

– y

2

) . (Wsk.: podstawić y = x tgt )

3. Wyznaczyć funkcję, której różniczką zupełną jest wyrażenie podcałkowe i obliczyć całkę

krzywoliniową skierowaną po dowolnym łuku łączącym punkty A i B

a)

∫

∪

−

AB

ydy

x

ydx

4

sin

4

4

cos

, gdzie A = (1,

π

/6) i B = (2,

π

/4);

b)

∫

∪

+

+

−

AB

dy

x

y

x

y

x

y

dx

x

y

x

y

)

cos

(sin

)

cos

1

(

2

2

, gdzie A = (1,0), B = (2,

π

) i łuk AB nie

przecina osi OY.

4. Zbadać zbieżność ciągu {a

n

}

n

∈

N

, dla

a) a

n

=

j

n

n

n

n

1

1

2

sin

+

+

−

, b) a

n

= (1+

n

n

n

j

n

)

2

1

1

(

)

2

1

−

−

, c) a

n

= cos

n

j

n

+

1

.

5. Zbadać zbieżność szeregu

a)

∑

∞

+

1

)

3

1

1

(

n

n

j

n

tg

n

, b)

)

1

sin

)

1

((

2

1

n

j

n

n

+

−

∑

∞

,

c)

)

1

cos

)

1

((

3

1

n

j

n

n

+

−

∑

∞

.

Odp.

1. a) – 140/3, b) 2

π

, c) – 19.

2. a) 3

π

/2, b) 9.

3. a) – 3/2,

b)

π

+ 1.

4. a) zbieżny, b) zbieżny,

c) rozbieżny.

5. a) zbieżny bezwzględnie, b) zbieżny warunkowo,

c) rozbieżny.