Analiza 2
Z
3
1. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć
a)
∫
+
−
+
K
dy
y
x
dx
y
x
)
(
)
(
2
2
2
, gdzie K jest dodatnio skierowanym brzegiem trójkąta o
wierzchołkach A = (1,1), B = (3,2) i C = (2,5);
b)
∫
+
−
K
dy
xy
ydx
x
2
2
, gdzie K jest okręgiem o równaniu x
2
+ y
2
= 2;
c)
∫
+
+
+
+
+
K
dy
y
x
x
y
xy
dx
y
x
))
ln(
(
2
2
2
2
2
, gdzie K jest ujemnie skierowanym
brzegiem prostokąta <1;4>
×
<2; 3>
2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego
a) asteroidą x = 2cos
3
t, y = 2sin
3
t, t
∈
<0;2
π
> ;
b) lemniskatą (x
2
+ y
2
)
2
= 9(x
2
– y
2
) . (Wsk.: podstawić y = x tgt )
3. Wyznaczyć funkcję, której różniczką zupełną jest wyrażenie podcałkowe i obliczyć całkę
krzywoliniową skierowaną po dowolnym łuku łączącym punkty A i B
a)
∫
∪
−
AB
ydy
x
ydx
4
sin
4
4
cos
, gdzie A = (1,
π
/6) i B = (2,
π
/4);
b)
∫
∪
+
+
−
AB
dy
x
y
x
y
x
y
dx
x
y
x
y
)
cos
(sin
)
cos
1
(
2
2
, gdzie A = (1,0), B = (2,
π
) i łuk AB nie
przecina osi OY.
4. Zbadać zbieżność ciągu {a
n
}
n
∈
N
, dla
a) a
n
=
j
n
n
n
n
1
1
2
sin
+
+
−
, b) a
n
= (1+
n
n
n
j
n
)
2
1
1
(
)
2
1
−
−
, c) a
n
= cos
n
j
n
+
1
.
5. Zbadać zbieżność szeregu
a)
∑
∞
+
1
)
3
1
1
(
n
n
j
n
tg
n
, b)
)
1
sin
)
1
((
2
1
n
j
n
n
+
−
∑
∞
,
c)
)
1
cos
)
1
((
3
1
n
j
n
n
+
−
∑
∞
.
Odp.
1. a) – 140/3, b) 2
π
, c) – 19.
2. a) 3
π
/2, b) 9.
3. a) – 3/2,
b)
π
+ 1.
4. a) zbieżny, b) zbieżny,
c) rozbieżny.
5. a) zbieżny bezwzględnie, b) zbieżny warunkowo,
c) rozbieżny.