Z9
1. Obliczyć
a) L[sin(t-1)1(t-1)], b) L[cos(t-1)1(t-1)], c) L[sh(t-2)1(t-2)], d) L[ch(t-2)1(t-2)], e) L[t-3)51(t-3)],
f) L[et-41(t-4)],g) L[sin2(t-4)1(t-4)], h) L[e-2tt5] .
2. Obliczyć L-transformatę funkcji
2sin t
dla 0 ≤ t ≤ π
a) f(t) =
; ponadto f(t) = f(t + 2π) dla t > 0.
0
dla t < 0 lub π < t ≤ 2π
0
dla
t < 0
b) f(t) =
t
dla
0 ≤ t ≤ T ; ponadto f(t) = f(t + 2T) dla t > 0 i T > 0.
T
2 − t dla T < t ≤ T
2
3. Obliczyć splot oryginałów ( poza d) 1
1
a) t ∗ t2,
b) t∗ sin t ,
c) e-t∗ e-2t,
d)
∗
, e) sint∗ sin t .
t
t
4. Obliczyć splot oryginałów f1(t) ∗ f2(t) , jeżeli a) f1(t) = f2(t) = 1(t) – 1(t-2), b) f1(t) = 2⋅1(t) – t⋅1(t-1), f2(t) = 1(t-2), c) f1(t) = t⋅1(t-2), f2(t) = 2⋅1(t) – 1(t-1).
5. Udowodnić przemienność splotu : f1(t) ∗ f2(t) = f2(t)∗ f1(t).
6. Korzystając z twierdzenia Borela obliczyć L-1– transformatę funkcji s + 1
1
a)
f (s)= 2
,
b)
.
s (s + )
2
f (s)= 2
2
(s + )
1
Odp.
1. a) e-s/(s2 + 1),
b) se-s/(s2 + 1),
c) e-2s/(s2 – 1),
d) se-2s/(s2 – 1),
e) 120e-3s/s6,
f) e-4s/(s – 1),
g) 2e-4s/(s2 + 4),
h) 120/(s + 2)6.
2. a) f (s) = 2/[(s2 + 1)(1 – e-sπ )], b) f (s) = [th(sT/2)]/s2.
3. a) t41(t)/12,
b) (t – sint)1(t),
c) (e-t – e-2t)1(t), d) π, e) (sint –tcost)1(t)/2.
4. a) 0 dla t − 2 > 2, 2 – t − 2 dla t − 2 ≤ 2, b) 2(t – 2)1(t-2) –[(t – 3) + (t –3)2/2]1(t-3), c) [4(t – 2) + (t – 2)2]1(t-2) – [2(t – 3) + (t – 3)2/2]1(t-3).
1
t
1
1
6. a) (
− 2t
+ − e ) 1(t),
b) (sin t − t cos t) 1(t).
4
2 4
2