Analiza 2
Z
5
1.
Obliczyć całkę
∫
∪
AB
dz
z
f )
(
po odcinku o początku A i końcu B, jeżeli
a)
f(z) = z
3
– 2, A = 2, B = j,
b) f(z) = e
z
/argz, A = 1 + j, B = 2 + 2j,
c)
f(z) = (Rez)
2
, A = – j, B = 1.
2. Obliczyć
∫
∪
+
AB
z
zdz
2
1
, gdzie
∪
AB
jest łukiem okręgu x
2
+ y
2
= 1 w pierwszej ćwiartce układu
współrzędnych OXY od punktu A = j do punktu B = 1.
3. Obliczyć
∫
∪
+
AB
z
z
dz
, gdzie
∪
AB
jest łukiem elipsy x
2
+ ½ y
2
= 1 w pierwszej ćwiartce układu
współrzędnych OXY od punktu A = 2 /2 + j do B = 1.
4. Obliczyć całkę funkcji zespolonej f(z) = sin
2
z +
3
+
z
z
+
2
)
(
sin
2
j
z
z
−
po elipsie x
2
+ y
2
/4 = 1,
skierowanej dodatnio względem wnętrza.
5.
Niech K(z
o
;r) oznacza okrąg o środku z
o
i promieniu r, dodatnio skierowany względem
wnętrza. Obliczyć
a)
dz
z
ze
z
z
z
j
K
z
∫
+
+
+
)
1
;
(
2
2
2
2
)
1
(
1
sin
,
b)
dz
z
e
z
z
z
K
z
∫
+
+
)
1
;
0
(
3
2
2
4
sin
c)
∫
−
+
)
2
;
0
(
2
2
)
(
)
1
(
K
j
z
z
dz
,
d)
∫
−
+
)
1
;
(
2
2
)
(
)
1
(
j
K
j
z
z
dz
.
6.
Udowodnić, że
∫
+
)
;
0
(
3
2
)
1
(
R
K
z
dz
3
2
)
1
(
2
−
π
≤
R
R
dla R > 1, gdzie K(0;R) jest skierowanym
dodatnio względem wnętrza okręgiem o środku w punkcie z
0
= 0 i promieniu R.
Odp.
1. a)
j
2
4
1
−
,
b)
[
]
)
1
sin
2
sin
(
1
cos
2
cos
4
−
+
−
π
e
j
e
e
,
c)
3
1 j
+
.
2.
2
1
.
3.
4
1
ln2 –
j
8
2
π
.
4. 4
π
jch1.
5. a)
π
(jsh1 – ch1),
b)
π
j, c) 0,
d) 3
π
j/8.