Analiza 2

Z

5

1.

Obliczyć całkę

∫

∪

AB

dz

z

f )

(

po odcinku o początku A i końcu B, jeżeli

a)

f(z) = z

3

– 2, A = 2, B = j,

b) f(z) = e

z

/argz, A = 1 + j, B = 2 + 2j,

c)

f(z) = (Rez)

2

, A = – j, B = 1.

2. Obliczyć

∫

∪

+

AB

z

zdz

2

1

, gdzie

∪

AB

jest łukiem okręgu x

2

+ y

2

= 1 w pierwszej ćwiartce układu

współrzędnych OXY od punktu A = j do punktu B = 1.

3. Obliczyć

∫

∪

+

AB

z

z

dz

, gdzie

∪

AB

jest łukiem elipsy x

2

+ ½ y

2

= 1 w pierwszej ćwiartce układu

współrzędnych OXY od punktu A = 2 /2 + j do B = 1.

4. Obliczyć całkę funkcji zespolonej f(z) = sin

2

z +

3

+

z

z

+

2

)

(

sin

2

j

z

z

−

po elipsie x

2

+ y

2

/4 = 1,

skierowanej dodatnio względem wnętrza.

5.

Niech K(z

o

;r) oznacza okrąg o środku z

o

i promieniu r, dodatnio skierowany względem

wnętrza. Obliczyć

a)

dz

z

ze

z

z

z

j

K

z

∫









+

+

+

)

1

;

(

2

2

2

2

)

1

(

1

sin

,

b)

dz

z

e

z

z

z

K

z

∫















+

+

)

1

;

0

(

3

2

2

4

sin

c)

∫

−

+

)

2

;

0

(

2

2

)

(

)

1

(

K

j

z

z

dz

,

d)

∫

−

+

)

1

;

(

2

2

)

(

)

1

(

j

K

j

z

z

dz

.

6.

Udowodnić, że

∫

+

)

;

0

(

3

2

)

1

(

R

K

z

dz

3

2

)

1

(

2

−

π

≤

R

R

dla R > 1, gdzie K(0;R) jest skierowanym

dodatnio względem wnętrza okręgiem o środku w punkcie z

0

= 0 i promieniu R.

Odp.

1. a)

j

2

4

1

−

,

b)

[

]

)

1

sin

2

sin

(

1

cos

2

cos

4

−

+

−

π

e

j

e

e

,

c)

3

1 j

+

.

2.

2

1

.

3.

4

1

ln2 –

j

8

2

π

.

4. 4

π

jch1.

5. a)

π

(jsh1 – ch1),

b)

π

j, c) 0,

d) 3

π

j/8.