Analiza 2

Z

4

1. Narysować krzywą z = z(t), jeżeli

a)

z = -t + 2jt

2

, t

∈

<0;+

∞

) ,

b) z = cht + jsht, t

∈

<0;+

∞

),

c)

z = sin

2

t + jsint, t

∈

<-

2

π

;

2

π

>,

d) z = 2 + t + j(1 + t), t

∈

<1;2>.

2. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji zespolonej

a)

f(z) = z

z 1

+

,

b) f(z) = z

-2

,

c) f(z) = z

2

+ z

1

−

.

3. Wykazać, że funkcja f(z) = x(2 – x) + y

2

+ j2y(1 – x) jest holomorficzna na płasz-

czyźnie zespolonej Z oraz obliczyć f’(z) i f”(z).

4. Obliczyć f’(z) , jeżeli f(z) = z

2

Rez. Czy dana funkcja jest holomorficzna?

5. Znaleźć funkcję holomorficzną f(z) taką, że f(0) = 1, jeżeli

a)

jej część rzeczywista u(x,y) = x

3

– 3xy

2

– 2x + 1,

b)

jej część urojona v(x,y) = 4xy(x

2

– y

2

).

6. Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego i narysować jego koło zbieżności

a)

n

n

n

z

n

n

)

2

(

!

1

+

∑

∞

=

,

b)

n

n

n

z

3

0

8

∑

∞

=

,

c)

∑

∞

=

−

0

3

)

3

(

n

n

n

z

.

7. Wyprowadzić wzory : e

a

⋅

e

b

=e

a+b

, sin(a + b) = sina

⋅

cosb + sinb

⋅

cosa, cos(a + b) =

= cosa

⋅

cosb – sina

⋅

sinb, a następnie znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji

a)

f(z) = e

2jz

,

b) f(z) = sin2z,

c) f(z) = cos2z.

Odp.

2. a) (x + 1)/(x

2

+ y

2

)

2

1

,

y/(x

2

+ y

2

)

2

1

,

b) (x

2

– y

2

)/[(x

2

– y

2

)

2

+ 4x

2

y

2

],

-2xy/[(x

2

-y

2

)

2

+ 4x

2

y

2

],

c) (x

4

+ x – y

4

)/(x

2

+ y

2

), (2x

3

+ 2xy

2

– 1)y/(x

2

+ y

2

).

3. f’(z) = 2(1 – z), f”(z) = -2.

4. f’(0) = 0, nie jest holomorficzna w żadnym punkcie.

5. a) z

3

– 2z + 1,

b) z

4

+ 1.

6. a) e,

b)

2

1

,

c) 3.

7. a) e

-2y

cos2x, e

-2y

sin2x, b) sin2xch2y, cos2xsh2y, c) cos2xch2y, –sin2xsh2y.