Analiza 2
Z
4
1. Narysować krzywą z = z(t), jeżeli
a)
z = -t + 2jt
2
, t
∈
<0;+
∞
) ,
b) z = cht + jsht, t
∈
<0;+
∞
),
c)
z = sin
2
t + jsint, t
∈
<-
2
π
;
2
π
>,
d) z = 2 + t + j(1 + t), t
∈
<1;2>.
2. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji zespolonej
a)
f(z) = z
z 1
+
,
b) f(z) = z
-2
,
c) f(z) = z
2
+ z
1
−
.
3. Wykazać, że funkcja f(z) = x(2 – x) + y
2
+ j2y(1 – x) jest holomorficzna na płasz-
czyźnie zespolonej Z oraz obliczyć f’(z) i f”(z).
4. Obliczyć f’(z) , jeżeli f(z) = z
2
Rez. Czy dana funkcja jest holomorficzna?
5. Znaleźć funkcję holomorficzną f(z) taką, że f(0) = 1, jeżeli
a)
jej część rzeczywista u(x,y) = x
3
– 3xy
2
– 2x + 1,
b)
jej część urojona v(x,y) = 4xy(x
2
– y
2
).
6. Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego i narysować jego koło zbieżności
a)
n
n
n
z
n
n
)
2
(
!
1
+
∑
∞
=
,
b)
n
n
n
z
3
0
8
∑
∞
=
,
c)
∑
∞
=
−
0
3
)
3
(
n
n
n
z
.
7. Wyprowadzić wzory : e
a
⋅
e
b
=e
a+b
, sin(a + b) = sina
⋅
cosb + sinb
⋅
cosa, cos(a + b) =
= cosa
⋅
cosb – sina
⋅
sinb, a następnie znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji
a)
f(z) = e
2jz
,
b) f(z) = sin2z,
c) f(z) = cos2z.
Odp.
2. a) (x + 1)/(x
2
+ y
2
)
2
1
,
y/(x
2
+ y
2
)
2
1
,
b) (x
2
– y
2
)/[(x
2
– y
2
)
2
+ 4x
2
y
2
],
-2xy/[(x
2
-y
2
)
2
+ 4x
2
y
2
],
c) (x
4
+ x – y
4
)/(x
2
+ y
2
), (2x
3
+ 2xy
2
– 1)y/(x
2
+ y
2
).
3. f’(z) = 2(1 – z), f”(z) = -2.
4. f’(0) = 0, nie jest holomorficzna w żadnym punkcie.
5. a) z
3
– 2z + 1,
b) z
4
+ 1.
6. a) e,
b)
2
1
,
c) 3.
7. a) e
-2y
cos2x, e
-2y
sin2x, b) sin2xch2y, cos2xsh2y, c) cos2xch2y, –sin2xsh2y.